MN-2 = 4(R

La section B" faite à mi-hauteur ( ^^ == 9 ) a pour aire

La section B faile dans le plan des puissances [z = 0) est B = 4R2; «nfin, pour :? = R, on a

La règle des trois niveaux donne donc

Méthodes craijproxîiiiaiîoii

343. Les exemples que nous avons choisis jusqu'à présent ont pu être conduits jusqu'au bout et ont abouti, soit à des formules calculables numériquement, soit à des fonctions dont on possède des tables numériques. Il n'en est pas toujours ainsi et l'on obtient souvent une intégrale définie dont l'inté- :grale indéfinie n'existe pas et dont les tables n'ont pas été calculées. Dans ce cas, on est obligé d'employer des méthodes d'approximation que nous allons faire connaître.

343. Un premier procédé est celui du développement en série. C'est ainsi qu'au n° 93 nous avons indiqué la possibilité de calculer la valeur de l'intégrale elliptique de première espèce

V i — ^^siii'-o '0

pour de petites valeurs du module k. Insistons un peu sur ce point et, pour donner une application géométrique, voyons par exemple comment on pourra mesurer l'arc d'une ellipse de faible excentricité e.

Soit

h'-of- + ah/ = aWl'équation de l'ellipse,

La longueur d'un arc d'ellipse aura pour valeur

Posons

X ^= a sin o, la formule devient

s =: a / /l — e-sin-cp d'f,

OU, en développant le radical en série par la formule

(1 — e-sin^cp)- = l — ^ e-sin-cp — g e^sn'i''(D — -.-7; e''' sin^cp — .,.,

T — 9 ^" / sin^cfc^cf — jvg^ / sin^^cpc/tf — j^ e" / sin^'cpc^cp— ,

Pour avoir la longueur du quart d'ellipse, il faudra intégrer de zéro à 5; or (n" 78)

^ . „„ , 1.3.5 ... (2^3 — 1 TT ' " 2.4.6 .,. 2p 2

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 317

On aura donc, en multipliant par 4 pour avoir l'ellipse entière

s , 1 „ 1 1.3 ; 1 1.3.S . ,om

2aTi 4 8 2.4 10 2.4.6 ^ ^

244. Cette formule, dans laquelle on devra prendre plus ou moins de termes suivant la grandeur de e, peut être remplacée par une autre plus simple lorsqu'on peut négliger les puissances de e supérieures à la sixième.

Remarquons en effet que l'on a

d'où

En comparant cette dernière égalité à (20), on trouve immédiatement

s = 7i[^(a+ b) — vab^ (21]

a?<^ termee eji e^ /??'è5.

On trouverait de même, par un développement en série, l'arc d'hyperbole.

Tout ce qui précède n'est d'ailleurs qu'une application du théorème établi n» 239, tome l'^'".

245. Les méthodes qu'il nous reste à faire connaître sont toutes fondées sur la considération des aires. On a vu que, si

y = fip^)

est réquàtion d'une courbe,

représente l'aire comprise entre celte courbe, l'arc des x et deux parallèles koy [x ^ a ei x ^= b). 11 s'agit d'évaluer cette aire aussi exactement que possible.

S46. Méthode des trapèzes. Partageons l'intervalle b — a de ox en n parties égales, et par les points de division menons des ordonnées ?/o= AG, y^ = A^A'^ ... yi= Aïk'i ... ?/„= BD. En menant les cordes GA'j, A'jA'^ ..., on aura un polygone qui

FiG. 33

différera peu de la courbe si le nombre des ordonnées est sulPisamment grand. La méthode consiste à prendre comme valeur approchée de l'aire A la somme S des aires des trapèzes

h — a 'in

•)^" Cî/o+ 2i/, + 2y^ 4- ... -4- lyn-, + 2/«)

2 17. Méthode de Cotes. C'est une méthode d'interpolation. Formons le polynôme ^[x) de degré n qui prenne, pour

, la valeur y,,, k variant de o à ?2. On prendra

comme valeur approchée de A

v[cc)da:;.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 31 &

Pour laisser le moins de calculs à faire dans chaque exemple et pour préparer, autant que possible, des tables qui servent dans tous les cas, il est commode de ramener les limites à être fixes, par exemple à avoir pour valeurs 0 et 1. A cet effet posons

X = a H- {h — a]t L'intégrale précédente devient

\ = (p — a)j o\a-^{b-~ a) q dt,

l = {h — a) l 'h(t)di, (23 J

Les valeurs à donner à t seront 0, -, - ... ^l-~.}.. 1. Qr le

polynôme qui prend les valeurs y,, pour / = - a été formé au

n° 34. Si l'on pose

on trouve

et Ton voit que

Dans cette formule, l'intégrale est indépendante de '\[t) et

320 CHAPIERE Vil

peut être calculée d'avance ; soit A^ sa valeur. On aura finalement

l = {b — a) (A0//0 + Ai2/i + ... -h Anyn) (23) .

Remarquons immédiatement qu'on trouverait un résultat analogue si les ordonnées, au lieu d'être équidistantes, se succédaient suivant toute autre loi. Le seule changement à faire consisterait à poser

F(0 = it — a,) {t - a,) ... {t — «,+ 0.

Le calcul des coefficients peut se simplifier par les remarques suivantes : supposons que <^{t) soit une constante c{y^ = y^^ = ... = t/„== c). La formule (23) donne

I = (6 — a)c, la formule (2.5)

\ = {h — a)c (Ao + Aj-h ... H- A„); donc

AoH- Al + ... H- An— L

Supposons maintenant que la courbe y = -^O soit remplacée par sa symétrique par rapport à l'ordonnée médiane

t = ^. L'aire restera la même, seulement les ordonnées seront

remplacées par leurs symétriques, y^ par ?/„, y^ par î/„i et ainsi de suite. En égalant les deux valeurs de 1 fournies parla formule (23), on trouve

Ao2/o -^ Ajiyi -h ... + A„y„ = A^îjn+ A.ijn-^ 4- ... -H A„yo,

et, comme cette égalité doit avoir lieu quelle que soit <];(/), c'est-à-dire quelles que soient y^, y^... ?/„, il faut que

Aq = A;,, Aj = A„ j, ... I

les coefficients équidistants des extrêmes sont égaux.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 32,1.

Voici quelques valeurs :

pour w = 1 Aq=A^=-^,

pour w = 2 Ap=A,= — ^-, Aj = g,

pour w = 3 Ao==A3=-o-, Aj = A, = -g- ,

pourw = 4 Ao=A^=-ÔQ-, Ai = A3 = jg, A^=^j^,

pourn = 5 Ao=A, = 288^ Ai = A,= gg, A,=:A3=jp^.

348. Le cas de n = 2 est à signaler spécialement ; on a en effet dans ce cas

i = — g— ii/o + 4yi + 2/i)'

et, comme celte formule donne la valeur exacte si «f(^) est un polynôme de deuxième degré, on retrouve, comme cela devait être, la formule que nous avons signalée (n*^ 239) sous le nom de règle des trois niveaux.

Simpson, en appliquant cette formule à chaque groupe de trois ordonnées successives, a donné une autre formule d'approximation sur laquelle nous n'insisterons pas (Voir Traité de géométrie deRouché et de Comberousse, 7® édition p. 357).

349. 11 ne faudrait pas croire d'ailleurs qu'il y faille toujours préférer la méthode de Cotes à celle des trapèzes. Soit par exemple

(2 -f- cos x)dx = ir.

Employons les trois ordonnées correspondant aux valeurs X = 0, ce ^=T., œ =2r., savoir j/(, = 3, y^:^ 1, ^2= 3- ^^ ^^^' thode des trapèze donnera

S = ^ (3 4- 2 + 3) = 47:, valeur exacte.

Calcul infinitésimal 2'

La méthode de Cotes appliquée avec le même nombre d'ordonnées (règle des trois niveaux) donne