T 2^/0 / ON

I — -^ (3 -H 4 + 3) — -o- TT,

valeur qui diffère de la valeur exacte de -q- . Il faudra donc

procéder avec quelque prudence et, par exemple, essayer de se rendre compte d'avance de la marche de la fonction y entre « et h\ si la courbe représentative serpente autour de la ligne polygonale fournie par des trapèzes, il n'y aura pas grande raison de préférer celle de Cotes pour laquelle les coefficients A;, sont plus compliqués.

Si la fonction ij est développable en série de Maclaurin, il sera possible d'avoir une valeur approchée de l'erreur commise dans la méthode de Cotes. En effet soit

2/ = 2/o H- °^y\ + |-2 2/0 H- A = / ydx = I ijodaj + / ccy'f^dx

== j ydx= j i

Comme la méthode de Cotes donne la valeur exacte dans le cas de M H- 1 ordonnées, si y un est polynôme de degré n, les intégrales qui figurent dans la formule précédente seront données exactement par la formule (25) et l'écart entre A et sa valeur approchée ne commencera à se produire qu'à partir de

l'intégrale ^ 1 oo^doo exclusivement. Il y aura ainsi une série 'a

d'erreurs commises sur Vo + * ? -m I x'^-^^dx, et sur les

termes suivants, erreurs qui pourront être calculées d'avance si Ton fait abstraction des facteurs t/o^'*"^*), y,}-"'^^).

!SÎ50. Quoi qu'il en soit de ces considérations, voici quel-

APPLICATIONS GEOMETRIQUES 323

ques exemples que le lecteur pourra calculer et qui lui donneront une idée comparative des deux méthodes. L'intégrale

= les- 2

a pour valeur 0,69314718036. La méthode des trapèzes avec onze ordonnées donne pour valeur approchée 0,69377 ; cellô de Cotes avec onze ordonnées 0,69314733. L'intéûfrale

\0g (l -\-CG) j 7T

■ ,\ r-^ clx = 5 loff 2

a pour valeur 0,2721982. La méthode des trapèzes avec onze ordonnées donne 0,2712837 ; celle de Cotes avec 6 ordonnées 0,2722091.

Enfin, si l'on pose

y = 2cc^ — iOay' + ll^x^ ~ 300^^ + 720.^" __ qq^. ^ joO,

l'intégrale I ydx a pour valeur 3103,9 ; la méthode des

trapèzes, avec quatre ordonnées donne 3100,5 et la méthode de Cotes avec le même nombre d'ordonnées 3102. La même fonction y intégrée de zéro à 4 a pour valeur 3321,1 ; en employant cinq ordonnées la méthode des trapèzes fournit l'approximation 3334 et celle de Cotes 3333,3.

En résumé, dans le calcul de log2, avec onze ordonnées, la méthode des trapèzes ne donne que tiois chiffres exacts, celle de Cotes en donne six. Dans le deuxième exemple, la méthode des trapèzes, avec 07ize ordonnées ne donne que deux chiffres exacts, celle de Cotes, avec six ordonnées, en donné sensible ment cinq. Par contre, dans les deux derniers exemples, avec

les mêmes nombres d'ordonnées, les deux méthodes donnent le même nombre de chiffres exacts avec un léger avantage pour celle de Cotes.

Rappelons enfin l'exemple du n'' précédent où la méthode des trapèzes donnait une valeur exacte tandis que celle de Cotes;» avec le même nombre d'ordonnées, n'arrivait qu'à une erreur

relative de -^ .

■ 25t.' Éêtkode de Gaiiss, — Oh doit à Gauss une méthode d'interpolation excessivement originale où se retrouve la marque de ce puissant génie. L'idée simple qui sert de base à la méthode est qu'il est inutile de s'astreindre à une interpolation par intervalles égaux, et qu il est préférable de choi?ir les abscisses, de manière que la parabole interpolatrice suive, d'aussi près que possible, la courbe y = f{x) dont on a h effectuer la quadrature (n° 244). Or il est possible de choisir les. n abscisses de manière que, quelle que soit la courbe yzz=f{x), elle ait, avec la parabole interpolatrice, (au moins avec une approximation que nous indiquerons) 2 n — i points communs entre 0 et 1 ; il suffit, pour cela de prendre pour abscisses les racines du polynôme Xn de Le gendre, c'est-à-dire les racines de l'équation (*)

- - . ^ - , ^,[x{,v-\)]-=.(i. . \ im)\

Nous allons le démontrer.

A cet effet, supposons f[x) développée en série de Maclaurin-

/•(a;) = «o-t-aia7-+-a2a72+...-l-a„.«"-h... + «2n-r^'"~^ + -" (27)

Posons

Y[x) =z {x — aj) {œ — ag) ... (oc — a„),

(*) Au \Y> 131, le polynôme X„ s'est présenté, à un facteur indépendant de X pris, sous la forme de la dérivée n'ème de [x^ — 1)". On passe de cette forme, à celle que nous adoptons ici par la substitution. X = 2?/ — 1.