APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
-et
Soit enfin
te polynôme interpolateur de Lagrange, L'erreur commise en •remplaçant (/"a;) par t];(a!) est
•si f{x) était un polynôme de degré n — 1, il serait identique à 'li{x), et cette erreiit serait nulle. Gauss détermine F(.z;) de manière que l'on ait encore
si Y{x) est un polynôme de degré 2/2 -^ 1. Dans ce cas, si Ton •divise f\x) par ¥{x) et si l'on appelle Q{x) et R(^) le quotient et le reste, on aura
f{x) = F(^)Q(a;) -+- R(x) •comme R(.7^) est de degré n — 1 ,
•et l'erreur se réduit à
t= Q{a))F(x)dx.
Soit ■ ' , .
Q{x) = Xq + X^x -h ... -1- XjO;' -t- ,.,
0 n aura
E = ^ X; / x'¥{x)dco, i «y 0
et cette erreur sera nulle, quel que soit Xj, c'est-à-dire quel que soit /(a:), si l'on a, pour f = 0, 1, 2 ... ?z — 1,
x'¥{œ)doc = 0.
Les 71 conditions ainsi obtenues déterminent le polynôme ¥{x) à un facteur près ; posons, par exemple,
F{x) = ce'' -+ p^x'"-'^ -h jOj^"-^ Les conditions (28) s'écriront
Pr,
Pn
En éliminant les coefficients Pi,P2 •.., on trouve
M étant un coefficient numérique. Ce polynôme représente, à un facteur constant près, la dérivée ?i'^'"^ de x"{cv — 1)". Mais, au lieu de le prouver directement, nous allons montrer que cette dérivée satisfait bien aux conditions (28). Posons
u = X\ V = oo'"{x — 1)".
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 327
La formule d'inlégralion par parties (n° 26) s'écrit, en y remplaçant n par k,
^ (29) 4 ( l)î'MO0î;(^-i'-i) + (— 1)^' + 1 / uiP + ^)v{^-i'-^)dx
Or, si k est inférieur ou égal à n, les dérivées de v, v' , vl' ..^ u(?>-^) s'annulent pour a; := 0 et pour x = \ \ si donc, dans la formule (29), on fait p = i, comme on aura aussi u^.^ + ^) ^ 0^ on aura
et cette égalité subsistera pour A; = n, 2= 0, 1, 2 ... n — 1^ ce qui démontre le théorème, puisqu'on a
L'équation yW = 0, a, en vertu du théorème de Rolle, ses n racines réelles, distinctes et comprises entre zéro et un. Ainsi la règle de Gauss donne, au moyen de n ordonnées, la valeur exacte de l'intégrale considérée dans tous les cas où la fonction [{x) est un polynôme de degré au plus égal à 2n — 1. Supposons enfin que f{x) soit égale à la série (27) et soit fj^x) le polynôme formé par ses 2n premiers termes. Nous aurons
et, si la série est suffisamment convergente, on pourra, sans erreur importante, négliger R et remplacer f(x) par /^{x). On aura alors
/(aO=/i(«i) + ^o
Zi étant très petit. La méthode de Gauss donnerait exactement
si l'on avait h = 0, pour « = 0, 1, 2 ... 2n — 1. On voit donc qu'on évalue à peu près exactement l'aire limitée parla courbe
y = ZiH
qui a 2?2 — 1 points très voisins de la courbe
y = ripe).
Les abscisses étant fixées, la formule (25) subsiste ainsi que nous l'avons fait observer en l'écrivant (n° 243). Voici quelques valeurs pour les abscisses et les coefticients correspondants :
7i = \ a.^ = -^ Aq = 1
(ai=— "I^g^ =0,21132487
« = 2 , Ao = A, = ^
l.=-.--ryA =0,78867513 \ ^ 0
Lg = ^^±^ = 0,88729835 Ai = §
«, = 0,33(J009'.8 Ao A3 - 0,1739.74
«.=0,04691008 , , n.jo/ftor
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
352. Voici deux applications. Avec cinq ordonnées, Ton trouve :
Valeur approchée de
Valeur approchée de / l^-'^' ^^ dx = 0,27219801,
les calculs étant faits avec des tables de logarithmes à huit décimales.
La première de ces deux valeurs coïncide avec la valeur exacte pour les huit premiers chiffres ; la deuxième en diffère à partir du septième.
253. Autres méthodes. D'autres procédés ont été employés pour évaluer des aires avec une certaine approximation M. L. Lévy(*) a donné une méthode qui fait intervenir la considération de la facilité du calcul. La valeur de la fonction se calcule en effet sans peine, dans la plupart des cas, pour les valeurs a? = 0 et x = l. M. L. Lévy s'est proposé d'introduire toujours ces valeurs, les autres étant obtenues d'après le principe de Gauss, c'est-à-dire de manière à assurer le maximum de coïncidences avec le minimum d'ordonnées. Nous nous bornerons à énoncer le résultat : il faut, pour obtenir 2n — 1 coïncidences avec les abscisses 07 = 0, a? = i, employer les racines de l'équation :
(•) Lucien Lévy. — Bulletin des Sociétés savantes, 1880.
330 CHAPITRE Vil
Cette équation peut encore s'écrire :
Si on lui adjoint les ordonnées fixes x = 0, oj = 1, les n -f- 1 ordonnées à employer sont les racines de l'équation
rfa?'
Voici quelques résultats. Si N désigne le nombre des ordonnées, on trouve pour N = 3 la règle des trois niveaux;
pour N = 4
ai = 0
Aj — ^2 — î2
^1 — A3 — ig^
7H-v/in
En se servant de ces dernières abscisses, dont deux seulement sont irrationnelles, on trouve, pour la valeur approchée de log 2,
I dx Valeur approchée de / ;= = 0,693148,
exacte jusqu'au sixième chiffre.
Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet; le lecteur qu'il intéresse lira avec fruit un important Mémoire de M. Radau (Journal de V Ecole Polytechnique, 1880), et la Thèse de M. Pujet (1868).
