CENTRES DE GRAVITÉ, MOMENTS D'INERTIE

Intégrales multiples

354. C'est encore d'une notion géométrique que nous ierons découler la définition des intégrales triples, Soit w un élément de volume en un point M dunt nous désignerons les les coordonnées par u,v,ic\ supposons qu'à chaque point M soit attaché un coefficient, f[u,v,w), fonction des coordonnées de M (la masse, par exemple, dans un corps hétérogène).

La somme

étendue à tous les points d'un volume déterminé aura, en général, une limite bien définie lorsque l'élément lo tend vers zéro. Ce sera une inlégrple triple, dont la valeur sera indépendante du système de coordonnées choisi.

Par exemple, si le point est rapporté à un trièdre trireetangle et si ses coordonnées sont x,y,z, on pourra prendre pour élément de volume un parallélépipède élémentaire

co = dx.dy,d0, et l'intégrale s'écrira

^f{x,y,z)dxdydz. (2}

OU encore

f{x,]j,z)dxdijdz.

Si le point M est défini par ses coordonnées polaires (distance au pôle p, longitude cp, colatitude 6), on pourra prendre comme volume élémentaire le solide, assimilable à un parallélépipède rectangle, qui est compris entre deux sphères concentriques de rayons p et p h- d^, deux plans (méridiens) passant par un diamètre de la sphère, et deux cônes de

FiG. 34

révolution d'angles e et 6 -f- d%, ayant pour axe commun le diamètre précédent et pour sommet le centre des sphères. On aura alors

w=rAB.AC.AD

ou