o?p.p sin 6c?ç>.pci{6, et pour l'intégrale triple
Scp.(p,0,©)p- sin OdpdQcl^
INTEGRALES TRIPLES, IiNTEGRALKS MULTIPLES 333
ce qu'on peut écrire aussi
ç(p,0,tp)p^ sin 6f?pf?6ci?cp. (5)
Ces intégrales donnent en particulier les volumes si les fonctions f{x,y,z), f{u,v, iv) ou «p(p,e,'^) se réduisent à l'unité.
255. Nous pouvons maintenant généraliser la notion d'intégrale et l'étendre à un nombre quelconque de variables ^i,x.2, ... Xn. Supposons encore que ces variables soient astreintes à vérifier certaines inégalités
les nombres a^J)^,a^,h^ ... dépendant ou non des variables qui précèdent celle qu'ils encadrent. Nous dirons que ces inégalités définissent un domaine. Afin d'abréger, nous emploierons encore le mot point du domaine pour désigner un système de valeurs simultanées des variables ^1,^2 ... x». Le produit
où le signe d indique encore une différentielle, constituera un élément du domaine.
Cela posé, si f{xi,Xi... Xr) désigne une fonction continue des variables x^, x^..., la somme
étendue à tous les points du domaine, tend, lorsque toutes les différences x\— x^., x\— x^... tendent vers zéro, vers une limite déterminée que nous représenterons soit par la notation
S/'(a;t,^2' ••• oCj^dx^^.dx^ ... dxn, (7)
soit par la notation
/ / / / f{pOy,x^... x^dx^.dœ^... dXn, (8)
334 CHAPITRE Vlll
soit encore par la suivante
C(7fij(A/ju\^tG/(X/Q ••• tM/OUfi» \*'y
Si la fonction /(jî^,^2 •••) '^'^^^ pas continue, la somme (6) pourra avoir, ou non, une limite déterminée ; ce sera une question à étudier dans chaque cas. Nous en verrons un exemple dans le chapitre suivant.
!356. Ces intégrales peuvent être, comme les intégrales doubles, évaluées à Vaide d'un certain nombre dHntéff rations simples. Supposons que toutes les variables, sauf arj, demeurent constantes, on aura, en faisant la somme des éléments correspondants^
S^f{sG^,lV^ ...)dx^.dx^ ... = dûOj.dx^ ... dxn I fdool\ faisons maintenant varier .Ta, et faisons la somme. Tl viendra
dx.2 I fdcci.
Finalement, on aura
^fdx^.dx.^ ... dXn =
if 11} (*0)
= I dXn I doOn—i^ ... / dx^ 1 fclx^.
Nous ne nous étendrons pas sur la démonstration, ni sur la possibilité d'intervertir l'ordre des intégrations. Nous aurons d'ailleurs à revenir sur ce sujet dans le cas de trois variables.
Changement de variables dans les intégrales multiples
257. Soit à remplacer les variales x^^x^ ...Xn par de nouvelles variables z/,,e<2 ••• «^r, reliées aux anciennes par les relations
00\ = <fi(î«i,M2 ••• ^") 00^ = 0^\U^,V^ ... ÎC„)
(ii:
qui, par hypothèse, font correspondre un seul point u^yti^ ... à un seul point Xi,x^ ...
Désignons par J le Jacobien des anciennes variables par rapport aux nouvelles,
h'Di
ÔCf,
î-cpj
ÔM,
ÔW„
■• dU„
ï^'fn
Ôfn
ÔMj
hu.^
" ÔW„
soit enfin J, le déterminant obtenu en supprimant dans J la dernière ligne et la dernière colonne.
Nous avons vu (n"^^ 196 et 197) que, dans le cas de deux variables, l'élément dxdi/ doit être, après la transformation, remplacé par | J | dudv. Le résultat est identique dans le cas de n variables ; puisqu'il est établi pour deux variables, il suffit de prouver qu'en l'admettant pour n — 1 variables il est encore exact pour n. L'hypothèse est donc que, dans la substitution de Ui,u.^...Uu-i à Xi,x2...Xn-ij on remplace, sous le signe d'intégration, l'élément du domaine dx^.dx^ ... dxn-i par I J I du^du^dun-i' L'intégrale
^f{x^^x^ ... dx^dx^.dx^ ... do^n
336 CHAPITRE Vlll
peut s'écrire
dx^dx^ ... dxn—i I f{x^,x^ ... x,:)dXn,
en n'écrivant pas les limites, pour abréger.'
Dans la première intégration 07^,072 ...a;„i restent constantes. Remplaçons x^ par w„, et par conséquent dojn par — dur,- —
se tirera des équations (11) dans lesquelles il faut supposer Xx,x^...Xn-^ constantes. £i) prenant les dérivées par rapport à Uni on trouve
0 = -tl — i H Li -^ | . . j J.
?n- 1 ûî^i ô^^j^^ ÙM^ . , ^^,1
on en tire, par élimination de
hUi bllf,
^Ui, ^u„
i)Xn J
L'intégrale multiple devient ainsi
cpn) y- dîCn.
11 faut maintenant laisser u„ constante et faire varier les autres variables ; mais ces autres variables peuvent être remplacées par Wj,?^.2 ...w„j, et, par hypothèse, on sait faire cette substitution : il faut remplacer
dx^dx^ ... dxn
par
i\di(^dur, ... dun~i
L'intégrale multiple sera ainsi deyenue
/ dUn I A'?i,?2 ■•• ?n) jT" ^idU^dll, ... dUn ^
^A?i'?2 ••• ^)i)^du^dll.2 ... dUn-i,
ce qui démontre le théorème.
En particulier, dans le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires par les formules
X = 1^ siii 0 cbs cp, y = p sin 6 sin o, 3: = p cos 6, '
on aura
— = sin 6 cos o, -7- = p cos 0 cos o,
^ =z sin 0 sin o, -jr •et par suite
^ =z Sin 0 sin o, ~ =: p cos 6 sin ç,
i)p ■ ' dO ' ^
COS G, — = — p sm 0,
J = p2 sin 0 ;
p sin 0 s.
sin
