COS
c'est la confirmation du résultat trouvé par des considérations .géométriques au n** 251.
Pour que la démonstration qui vient d'être donnée convienne, Ji ne doit pas s'annuler ; mais en suivant un autre ordre pour la substitution des nouvelles variables aux anciennes, on introduirait d'autres mineurs que Ji. et si 3^0, il y aura toujours un au moins de ces mineurs non nul. La seule hypothèse à faif-e est donc 3 :p^ 0.
G\LG\3l INFINITÉSIMAL 22
338 CHAPITRE VIIÎ
Intégrale de Dii'îclilet
258- Le problème à résoudre consiste dans l'évaluation de l'intégrale
œv- ^y'i-^z"- y[(|)' 4- (ly' ~H [lj']cMijcl' ^13)
pour toutes les valeurs positives de œ,y,z satisfaisant à l'inéoralité
fr-dr-i^x' c^'
Nous ferons un premier changement de variables
^i^ Vt =.'/
On trouve facilement
en posant
n 7 ^" nr a''i«C''
de plus, la condition (14) devient
^-^'i + yi + ^1 < 1 (16;
et les variables a^j, yi, ?i sont toujours positives.
Faisons maintenant un nouveau changement de variables
d'où l'on tire
Le Jacobien de Xi y^ z^ par rapport à ^, y^, X, a pour valeur 1} Yi ; la quantité sur laquelle porte l'intégrale (13) devient, en supprimant momentanément les indices^
et la condition (16)
Comme ^j et î/i doivent être positives, il en résulte aussi
0<vi<t.
Les variables sont donc séparées et l'on pourra écrire ^ sous la forme
•v'O «y 0 Jq .
Les deux dernières intégrales peuvent être effectuées ; elles ont respectivement pour valeurs, en restituant les indices.
340 CHAPITRE VllI
On est donc ramené à l'intégrale simple
Un cas est particulièrement intéressant ; c'est celui oii f(ç) ^1. On a alors
rf^)r(|)r(r^
259. Calculons, par exemple, le volame de l'ellipsoïde qui a pour équation
/vi2 7/2 ^2
En se bornant aux valeurs positives des variables, on aura îe huitième de ce volume. 11 faut faire
a — p = Y = 2 p = q zz= r = \,
et appliquer la formule (18). On aura ainsi
1 VT / y / 7 , T abc
dxdydz = -^ ^ — 70"
Or
donc
r 2 = v/tt ;
V = ô TiaSc.
260. Les résultats précédents s'étendent à un nombre quelconque de variables positives j;j, x^ ... x^. Nous pouvons supposer effectuée la premi-ère transformation du n" 256, et écrire immédiatement comme condition limitative
X^ -^ X^ .-+ ... -t- Xn < 1. (20)
Il s'agit de démontrer qu'en appelant I l'intégrale multiple
S x^P^ ~~ ^x.^- ~^ ... Xj^'' ~ dx^dx^ . . . dXn,
étendue au champ limité par la condition (20), on a
' 1 = r(p,lr(j),)...r(p„) .
r(jo, ^i^o -+-••• -t-i3„ -+- 1) ^" ^
Intégrons d'abord par rapport à Xn ; nous devrons écrire
/l /^l — OC^ ^\ — Xi — X-i ... — X,x j
X^'^~\lX, / X^V^--^dx, ... / xf"-^dXn
xP^ - 'dx, / x^j:1 - ' (l-^,-^..-.-^»^i)^" aa:, ^. Posons
Xj^ — j = yl Xi X.2 ... Xji — 2/ '
comme x^, x^ ... Xn — ^ restent constantes dans la dernière intégration, la dernière intégrale s'écrira
Vj ^1 ^2
= (t — a^i— a^a ... — a?„,)^"+^-'-i r(p„ Qrfp,. -F 1) j>„ r(p«--i -^-i^n -+- 1)
^{^-x,-x, ... - xn__^'^ + P-^ r(p„,-^pTr+ 1)
342 CHAPITRE Yl!l
Nous trouvons ainsi
Xn^) «^«-n^0„, +p„-^ 1)'
cette forme est tout à fait analogue à celle que nous venons de réduire. Nous écrirons, sans plus de calculs,
r(p„ , + p„ + 1) * r(Pn-2 + />«- 1 -+- Vn H- 1) '■■
IXPj 4-P2 + ..-hJ3n-Hl) '
ce qui, après réductions évidentes, est bien la formule (2i).
Centres tle gravité et îMoiiients d'inertie
261. Soit P un plan ; m^, m^ ... m„ un système de k points matériels dont les masses seront désignées par les mômes lettres mi, m^ ..., et dont les distances respectives au plan P sont c?!, d^ .... . Soit enfin M la masse totale du système, G son centre de gravité, D la distance de ce point au plan P. On sait que
M = mi + m.^ -h ... + m/, = JiJ
y. 7n^d^ -+- WjO^a + ... -t- Wl^.C?/, __ Zd'^'^' /22)
"" ' m. H- 'mo -h .. -H mu V^m '
Si l'on fait coïncider le plan P successivement avec chacun des trois plans coordonnés, les distances di deviendront les coordonnées xu yu ^i des masses mi, et D prendra les trois valeurs X, y, z qui déterminent la position du centre de gravité.
S'il s'agit d'un volume, la masse m-, est un élément de vo-
lame au point m-, multiplié par la densité p^ ; cette densité est mie fonction des coordonnées du point m;. Les sommes qui fio-urent dans la formule (22) deviennent des intégrales triples, et, en prenant pour plan P le plan yoz par exemple, on a
pxdxdyd:^
I I I ^dxdyd.
Si le volume est homogène, p est une constante qui disparait dans la formule (23) et l'on a simplement
I i i xdxdydz X^^^^-^LÂ^ , (24)
V désignant le volume du corps.
Les mêmes considérations s'appliquent aux surfaces et aux lignes, avec cette seule différence que les intégrales sont doubles ou simples au lieu d'être triples. On aura, par exemple, dans le cas d'une surface homogène, pour l'abscisse ^du centre de gravité
I I xda
vr %J .^
en désignant par S l'aire totale et par c/a l'aire d'un élément superficiel.
262. Exemples. 1° Soit à déterminer le centre de gravité d'un hémisphère plein homogène. Nous supposons que le centre de la sphère est à l'origine et que le plan des xy limite l'hémisphère. Le centre de gravité se trouve évidemment sur Oz. Sa distance à l'origine sera donnée par la formule (24),
I / / zdxdijdz Z = 2 •
344 CHAPITRE VllI
Nous intégrerons pour toutes les valeurs positivés Aqx^ ?/, s satisfaisant à l'inégalité
et nous multiplierons le résultat par 4. C'est une applicalioa de la formule de Dirichlet (18). Il faut faire
jo = <7 = 1 r=2
On trouve ainsi
ttR
2*^ Cherchons maintenant le centre de gravité d'un arc decycloïde complet (tome l'^^ n° 286). La courbe est plane et il' suffit de deux coordonnées ; de plus, à cause de la symétrie, le centre de gravité se trouve sur l'ordonnée du point le plus haut et il suffit de trouver à quelle distance de Ox, ce qu'on, obtient par la formule
S63. On appelle moment d'inertie d'un point matériel par rapport à un axe le produit m. r^ de la masse du point par le carré de sa distance à l'axe ; le moment d'inertie, I, d'un système de points matériels est la somme des produits analogues
/ yds
■ cos t)2a sin .-^ dl
I = / pir-.
INTEGRALES TRIPLES, INTEGRALES MULTIPLES 345
Si le corps est homogène et continu (nous supposerons alors sa densité égale à un), on a une intégrale triple à calculer
dY étant un élément de volume.
