Donnons deux exemples
l'* Moment d'mertie d'une poutre droite à section rectangulaire par rapport à son axe longitudinal. Nous prendrons pour axe de la poutre l'axe des 5 ; la seclion droite sera un rectangle ayant son centre à l'origine et ses côtés parallèles à Ox et à 0?/, Nous appellerons c la longueur de la poutre, 2a et 26 les dimensions de sa section. Il faut calculer
h [x"' H- y^)dxdijd2.
L'intégration par rapport à z s'effectue immédiatement et l'on a
2cb I x^dx -\- 2ac j tfdy,
'iP Moment d'inertie de la sphère par rapport à un de ses diamètres [Oz).
11 s'agit de calculer
h= f I I {p^-^y^)dydyyz
346 CHAPITRE Vlll
pour toutes les valeurs de x,y,z telles que
Mais on a évidemment, en considérant les deux autres axes,
C'est encore une application de la formule deDirichlet (17). îVous calculerons le huitième de I, pour nous borner aux valeurs positives des variables. Ici l'on a
d'où
;865. Dans les Tableaux qui suivent, nous avons réuni les résultats obtenus dans les huit premiers chapitres de ce volume. Nous y avons ajouté un grand nombre de formules
qui s'obtiennent par des procédés analogues. Pour faciliter le travail des calculateurs, nous n'avons pas hésité à écrire des résultats qui auraient pu être déduils d'uue seule formule ; c'est ainsi que les six premières formules du tableau sont contenues dans la deuxième d'entre elles (*), à condition de supposer que m puisse prendre toutes les valeurs entières ou fractionnaires, positives ou négatives, et même la valeur zéro. Il est à peine utile de faire observer que, si 'sÇx) est une
intégrale de f{x), (d[u) sera une intégrale de -j- f{u). Par
exemple, on a
«in"'a; cos codx = t— -\- c ;
pour vérifier cette dernière égalité, il suffit de poser
sin x = u et l'on retombe ainsi sur la première égalité.
IiitéaTalioii directe
(*) Pour obtenir la troisième, il faut écrire le second nombx'e
^^ I ^ , prendre la dérivée des deux termes par rapport à m,
puis faire m = 1.
(**) La lettre c désigne une constante arbitraire, ici et dans tous les tableaux suivants.
/ dx ,
fZ^
sin xdx = — cos x -\- c
cos xdx = sin x -\- c
lang i^c^a? = — log cos a; -h c
cot âJt/a? = log sin a; + c
séc xdx = — log tang ( / — 9 ) 4- c
coséc xdx = log, tang ^ + c
(*) Dans celte formule, comme dans tout cet ouvrage, le signe loy désigne un logarithme népérien. :,
arc sin xdx = x arc sin x -\-\J\. — a;^ -+- c
arc cos xdx = x arc cos x — \/l — x- ~{- c
arc tang xdx = x arc tang x — ^ log il -i- jj^) -i- c
arc cot xdx = x arc cot x -i- ^ log (1 + x^) -\- c
dx . co
= arc sin - H- c
/— „ clic s 111 —
dx 1 , X -^ -, = - arc tang \- c
dx .
— ^- = lang X + c
= — col X -\- c
sin- X
\og.xdx = a7(log a; — 1) H- c
350 CHAPITRE VllI
Diverses Méthotles crîntégratîoii
!S66. Nous supprimons, dans ce qui suit, la constante c pour simplifier l'écriture.
dx 1 . lax -\-h — \Jh^ — 4 ac
aoc'-^hx-\-c ^l^lac ^ 2ax -\- h ^ \/b^' - k ac
si 6^ — 4 cic >■ 0.
— ,- — = —--7 si J- — 4 ac = 0.
ax^ -\~ ox -\- c ax h-- h.
dx 2 2 aœ -f- h
si 4 ac — 62 > 0.
dx , , a?
sin X o o 2
dx cos a:
= log cot (^ - I)
J?"' log a; C?a? = . log ^ -, ; — TV2
(*) Voici par exemple un cas particulier qui se rencontre dans le problème de la déformation d'une plaque circulaire encastrée sur le pourtour et chargée au centre. La méridienne a pour équation
X log - dx
d'où
?/ = - ^ log r + Y log X - -g- + c
OG-dx sin X — x cos oc
[x sin ce -\- cos xy j? sin a; -H cos a?
œ^dx X sin x -f- cos x
(sin X — X cos x)'^ sin x — x cos x '
ac?a? (ang a;
[« H- («j; + 6) tang x]'^ a -\- {ax -4- b) tang a;
- = ^ j a; -I- log (sin x -i- cos x) 1
l -j- tang X Ve-''dx = — [P -I- P' -i- P" -^ .. + P(")]ô--% (71 degré de P>
dx
— ==: arc tang e^
nv(^)dx = wi'l"- *) — «'?;(" -2) + îi"v("- ^)
( 1 )Pw(i')y(» - 2^ - 1) -+- (— 1 )P + i I uiv + i)u(« - P - l)c(fi»-
/c/ar if 1 ,
.1 ^2V2 = ^îTi -\ -h ô arc (ang x (1 -I- x^y 2(1 -i- a?^) 2 °
