Posons

au = Ae^'^i 62f

Ces fonctions sont évidemment, comme les fonctions 0, holomorphes dans tout le plan.

La première condition que nous imposerons aux nouvelles fonctions sera d'avoir^ pour u infiniment petit, la valeur principale la plus simple, savoir, puisque zéro est racine simple de 6w et par suite de au, pour ^ic la valeur u et pour <jxu la valeur 1. Or, en développant par la formule de Maclaurin, on a

Gm = e(o) + uf)'(o) -H -^ e"(o) H- ^f e"'(o) + .... (SO)

La valeur principale de gu est donc

AhO'(o),

et il suffit de poser

On aura ainsi les quatre fonctions

V' = ^*^"^'êfj- (—'.2,3)

La fonction eu est impaire, les trois autres sont paires. Pour achever leur détermination, nous choisirons yj^ de manière que, dans le développement de (ju suivant les puissance» ascendantes de n, le terme en ic^ manque. Or on a

au = A [n- 2^^- w^ + ... ] \uQ'{o) + ^-^j 6'"(o) = a[uQ'(o) -f- (2^ O'(o) + ^^)it^ + .. ] la valeur de tj^ est donc

341. Voyons maintenant quel sera l'effet de l'addition d'une période sur ces fonctions, et, pour nous borner, ne considérons que la fonction cm. On aura

donc

a{u -h 2 0.1) = — e^''''^^^ + ^^1) aw. (54)

De même

a(w + 2to.)=Ae^'"i - 6(7^ -^ 2 w,)

__Ae^"^i e '^i e "'^ 6(1^,

d'où

2t,]Uo — Tzi q{u + 2 Wg) = — e "^1 ai«.

Nous poserons, pour conserver la symétrie des formules,

2rj^tO, — TTJ^ 2 7],

et la formule précédente deviendra

^(ï^ ^ 2 to,) = — e2-n2(« + "oV^,^ (56)

tout à fait analogue à la formule (34),

Introduisons maintenant la période 2 w^ et la quantité -r^.^ définies par les identités

Wj H- Wg + W3 = 0 (57)

•Il 4- ^2 + 'lî = 0 ; • (58)

et remarquons d'abord que l'élimination de r], et w^ entre ces deux identités et l'identité (33) conduit à la suivante

En remplaçant dans la formule (36) u par v -h 2co^, puis v par tf -h 2 0)3, on voit sans peine que

a{u -I- 2 0)3) = — e^-^alM + '^3)aM, . (60)

formule tout à fait analogue à celles qui portent les n°^ 54 €t (36).

34!^. La fonction Z,ii. — Nous poserons, par définition, Çw = D log ŒM = -'- (61)

4b6 CHAPITRE X

Puisque l'on a, dans le voisinage de l'origine,

eu = u -h A.-u^ -+- A.u'' H- ...

on aura

lie = (1 -f- 5A,?r'- H- ..) -^ ^; ' —

= - (1 -^ 5A.V Ht ..)a — A,«" 4-...),

ou enfin

Ç„ ^ i ^ Bm^ -I- Cu' -^ ... (62)

343. La fonction tu est une fonction impaire ; il résulte de la définition (formule 61) qu'elle admet pour pôles l'origine et les points périodes et que ces pôles sont simples. 11 n'y en a pas d'autres : en effet les formules (6) dun° 118 montrent que les dérivées d'une fonction méromorphe n'ont pas d'autres pôles que ceux de cette fonction, puisque les seconds membres de ces formules sont évidemment finis. La fonction a'ii^ est donc holomorphe dans tout le plan et î^w n'a comme pôles que les zéros de au.

344. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres des formules (54), (65) et (60), on voit que

r(w-t-2co,) = ÇuH-2^i (e = 1,2,3); (03)

c'est là une propriété bien curieuse de la fonction t,t(, de s'accroitre d'une quantité constante en même temps que la variable augmente d'une période.

345. La fonction pu. — Si Ton prend les dérivés des deux membres de l'égalité (63), on voit que 'Ç'u est une fonction elliptique. C'est, au signe près, la fonction />«, dont la définition exacte est

pu = — K'u = — BHog ne (64)

FONCTIONS ELLIPTIQUES 4o7

Nous aurons à établir l'idenlité de cette fonction avec celle précédemment définie sous le même nom. Montrons auparavant les conséquences immédiates de la définition nouvelle. On aura d'abord

{pu-^2i.,,)=--pu (^-=1,2, 3); (6S)

puis, à cause de l'égalité (62),

pu = 1 — (3Bw2 -H 5cw'^ -+- ..)

ou, en changeant de notation,

pu = —, + Ciii^ -f- CgW* -4- ... (66)

pu est une fonction paire, et admet comme pôles doubles l'origine et tous les points-périodes. Elle n'a pas d'autres pôles puisqu'on vertu des formules (6) du n° 118 la dérivée d'une fonction méromorphe n'a pas d'autres pôles que ceux de cette fonction. La fonction/;?^ est donc elliptique d'ordre deux.

346. On peut remarquer que la fonction pu est plus que définie par les propriétés que nous venons d'établir. Si une fonction elliptique f[u) d'ordre deux, aux périodes 2 Wj et 2t02, qui admet l'origine pour pôle double, peut se mettre, dans le voisinage de l'origine^ sous la forme

dans laquelle cp(-M) désigne une fonction holomorphe, elle se confond nécessairement avec /)m. En effet la différence /)« -— f[ii) est une fonction doublement ])ériodique qui ne devient pas infinie dans le parallélogramme des périodes ; c'est donc une constante (n^ 322). De plus cette différence, et par suite la constante, est nulle pour t* = 0. Donc /(w) = /)i*ç.