h le {il -\- i'C^ii/' -f

Alors la fonction

p'hi — kp^u 4- 20ci/)ii

est une fonction elliptique qui n'a aucun pôle ; elle se réduit donc à une constante et l'on peut poser

p'^u — 4/)-H(^ -H 20cijî'W = — ^3.

Les deux fonctions que nous avons désignées par la notation/im seront donc des solutions de la môme équation différentielle si l'on pose

On verra dans le chapitre suivant que cela suffît pour lesidentifier à une constante près, c'est-à-dire que l'on a déjà, en les distingant pour un instant par un indice,

pu ^= p^iu H- c).

Pour assurer l'identité complète, il suffît d'astreindre les deux fonctions à prendre la même valeur pour une valeur donnée à la variable, par exemple pour w = 0.

348. 11 résulte de cette parfaite identité que les propriétés

établies aux n°^ 326 et suivants s'appliquent complètement à la fonction actuelle. En particulier on a la formule d'addition

p^^,^,)^pu-^pv = l{^±^)\ (69)

P'io^ = 0, (a := 1,2,3).

A cause de l'importance de ces formules, nous en donnerons^ une deuxième démonstration fondée sur la nouvelle définition.