Commençons par la seconde. De l'égalité
p{it + 2co^) = pu,
on tire
et, en faisant w = — m^,
/"« = /''(-%)• Mais la dérivée d'une fonction paire est impaire, on a donc
et en additionnant les deux dernières égalités membre à membre
ou
Comme on a
p'^Xt = ^ht — gp^u — ^3,
ou, en décomposant le second membre en facteurs du premier degré,
p'Hi = k{àu — e,) (pu — e,) (pu - e,), (71)
on aura
P"'^'oi = 0 = 4(^w^ — Cj) (/)co — e,) {P^^ — 63) ;
poi^,poi^,pM^ sont donc égales chacune à une des racines e^, e^y e^ de réquation
i'Z' — ff,z — ^Tg = 0.
350. Etablissons maintenant la formule d'addition. Les âeux fonctions de u
pu — pv,
et
^[u -+- v) a[ic — v)
sont elliptiques aux périodes 2coj., 2^2 (^^ ^^^ facile de le vérifier pour la seconde en recourant aux formules 54 et 56) ; elles ont dans le parallélogramme des périodes le même pôle double, w = 0, et les mêmes zéros u = v et u = — v. Elles ne peuvent donc (n° 323) différer que par un facteur constant. Or, pour u infiniment petit, la première fonction a pour va-
leur principale -2 et la seconde — 2— î ^^ facteur constant par
lequel il faut diviser la deuxième est donc — <j^v et l'on a
pu — pv ^= ■ ^ 5-^ — \ ' . (lÀ)
Prenons la dérivée logarithmique des deux membres de cette formule ; nous obtenons l'égalité
pé^v = ^('' -^ ^) -^ '<'' - ^) - ^^''' (^^3)
-et en échangeant les lettres îi et v
- pr=-pv = ^('' + ^) - ^(^ - ^) - ^^"- (^^>
En ajoutant (73) et (74) on obtient la formule d'addition desfonctions Ç
et il suffît de prendre la dérivée des deux membres pour avoir une formule d'addition des lonctions p :
p{u ^v)-pu = -,^^^ Vp^r^y (76)
Ce n'est pas la formule que nous avions en vue ; mais on obtiendrait aisément cette dernière (form. 39) en développant les calculs indiqués par la formule (76) et en lemplaçant
p'^'U par ^fp^u — ^2 P"^^ — 9% p"u par Qp^u — g 2.
Nous laisserons au lecteur le soin d'achever ce calcul qui n'offre aucune difficulté
351. Nous avons observé que les fonctions /l — s'm^z-, \J\~-^tang^:: étaient uniformes, tandis que les fonctions \/\.—Zy \li — z^, etc., étaient multiformes. Il existe un théorème analogue pour la fonction /M. La fonction \lpu — e^ est uniforme.
Cela résulte d'abord, au moins pour a = 2, de la formule (27). Nous allons donner une démonstration qui ne suppose aucune hypothèse sur la nature des racines e^.
Dans l'égalité (72), faisons v = w^, à'oùpv = e^ (*). Cette égalité devient
Mais nous avons vu (n° 341) que
a(w -4- co,,) = a(w — co« + 2w«) =e2-^« (^* " "^aH- "«) a{u-~ co^). (77)
(*) Nous désignons par e^ la valeur de più^ pour la symétrie des notations ; mais les racines peuvent évidemment (n" 349) être numérotées arbitrairement.
On a donc
pu — Br^ = 5— ^ ^ (78j
-et
^pu — e^ = ^ -^ (/8 bis)
au aWjj
Le second membre est uniforme, et, une fois fixé le signe à prendre devant le radical, ce radical est parfaitement déterminé. On voit que, pour u infiniment petit, la valeur prin-
cipale du second membre est — - ; il doit donc en être de
môme du premier, ce qui fixe son signe.
Dans la formule (78), remplaçons u par u 4- w»; elle devient
p {il -h Wg) — ea =
a'Hu -+- w^) a^cOgj
En faisant le produit de cette égalité par l'égalité (78) membre à membre, et tenant compte de l'identité (77), on voit que le produit
iP^'' — «a) [P{u -+- wj ~ e^\
est indépendant de u. On eût pu d'ailleurs le prévoir en remarquant que les zéros du premier facteur sont pôles du second et réciproquement, et avec le même degré de multiplicité ; par exemple w^ est zéro double du premier facteur puisqu'il l'annule, ainsi que sa dérivée. Pour trouver la valeur de celte constante, qui résulterait au reste du calcul précédent, donnons à M la valeur ojp, et soit ep la racine correspondante (ep =^ p^i^ ; il vient
{pu — ej \{pu -h cooc) — ej = (ep — ej (ey — O. 0'^)
en désignant par ey la troisième racine de l'équation 4z^ — g^ z — ^2 = 0, c'est-à-dire la valeur de p ('op -H Wa), ou, ce qui revient au même, de/> (— w^) = ^coy.
La formule (79) généralise la formule (31). Posons pour un instant
A = slpu — ey. ;
îious aurons
f __ P'^^ ^ -4- V/(P^^ — egtpu — e^Xùu — e^)
ou
Mais /a ayant, quand n est infiniment petit, ~ pour valeur
principale, /'a a pour valeur principale ^ et iliaut prendre
le signe — . Donc
35!^. Remarque sur la réalité des fonctions de Weier- STRASS. Si Wj et iw^ ^^^^ réelles, il résulte des égalités, (40) et (41) que la constante q est réelle et que la fonction du est réelles pour toutes les valeurs réelles de u. Les égalités (50) et (54) donnent alors pour (ju des valeurs réelles, et par suite pu est aussi réelle. La formule (78), dans laquelle il faut faire a = 1, montre alors que pu est toujours supérieure à p^û^ qui est son minimum. On peut parfaitement suivre la marche de la fonction'/)w lorsque u varie de — oo à -h oo. Pour w = 0, pu part de l'infini ; p'u commence par être négative et, comme elle ne peut s'annuler qne si u est une demi-période, pu décroît jusqu'à ce que u = Wj. Puis p'u change de signe en s'annulanl, pu croit de nouveau jusqu'à -i- oo qui correspond à u = 2wj ; ensuite la fonction repasse périodiquement par les mêmes valeurs. On a aussi
p (lOj — u) = p (ujj H- m) ; car
t (w^ idj z=. p (il tOj)
et les deux arguments u — w^ et u + w^ ditîèrent entre eux d'une période.
Dans la démonstration qui précède, nous avons dit que p'u avait pour zéros (n° 351) 1rs demi-périodes et ii'en avait pas d'autres. Gela résulte de ce que t>'u n'a pas d'autres pôles que pu et que ces pôles, doubles dans pu, sont triples dans p'u, puisque, par exemple à l'origine,
Or, dans un parallélogramme de périodes, le nombre des zéros d'une fonction elliptique est égal (n° 326) à celui de ses pôles.
Dégénérescences
353. Dans deux cas particuliers extrêmes, les fonctions elliptiques dégénèrent dans des fonctions connues.
\° Si le module k tend vers zéro, on voit immédiatement (formule 8) que la fonction stiUi. tend vers sin u^, cnu^ vers cos Ui et dn ii^ vers l'unité. Deux racines e^ et e^ tendent à devenir égales ; enfm pu tend vers
^ sin^ u'\/^ ' 2° Si k tend vers l'unité, sn u^ tend vers la fraction g^i g — ^1
qu'on désigne souvent sous le nom de tangente hyperbolique de Wi (*) ; en u^ et dii u^ tendent vers l'inverse du cosinus hyperbolique. Deux racines e^ et e^ tendent encore à devenir égales.
{*) On appelle sinus Ityperholique l'expression
. , e" — e-y sinh y = ô »
Applications
354. Les applications des fonctions elliptiques sont extrêmement nombreuses. La rectification de l'ellipse, celle des cubiques circulaires sans point double, l'aire de l'ellipsoide, le mouvement du pendule simple, celui du pendule sphérique, le mouvement d'un corps fixé par un point, le mouvement d'un projectile dans un milieu où la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse, la forme d'une tige élastique déformée dans certaines conditions, l'intégration de certaines équations différentielles, etc, etc. dépendent des fonctions elliptiques. L'étude complète des cubiques planes, la démons-
cosinus hyperbolique l'expression
cosh y = ^ .
Le lecteur vérifiera sans peine les relations suivantes, dont la première exprime que les deux nouvelles fonctions sont les deux coordonnées d'un point d'une hyperbole,
co3h.2 y — sinh2 y = i sinh [x -\- y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x cosh {x -\- y) ^ cosh x cosh y + sinh x sinh y
sinh ( — 2/) = — sinh y
cosh ( — y) = cosh y
dx . ,
pz = sinh X
vl + x'
ir——r, = sect tang hyp. x etc.
Il existe des tables de ces fonctions. D'ailleurs ce ne sont pas à proprement des fonctions nouvelles ; car on a
cosh X =: cos ix sinh X ^^ i sin ix.
Ces deux dernières formules permettent de déduire toute la trigonométrie relative aux fonctions hyperboliques de celle des fonctions circulaires.
Calcul infikitésimal 30
tration de certains théorèmes de géométrie tels, par exemple, que ceux relatifs aux polj^gones de Poncelet, s'eiïectuent de la manière la plus simple à l'aide de ces fonctions. Nous nous bornerons à deux exemples,
