Rectification de Vellipse. — Soit l'ellipse
et soit 2c la distance focale ; on pose
ce =^ a sin o, y =^ ^ cos «f, A' = - ,
et l'on en déduit
ch"^ = a-(l — 7i^ singea) cU^- OU
k'^ sin- 9 dç).
L'intégrale du second membre est précisément celle que Legendre a choisie comme lype des intégrales de deuxième espèce, et qui a donné son nom à tonte cette théorie. Pour l'exprimer au moyen des fonctions elliptiques, posons
sin o
la fonction ^?^ étant définie par les trois racines
Un calcul simple montre que l'intégrale précédente se transforme en
s = a' I ^J'- ^ du = a'-' f 1 H- p-^=^^ ) du.
pu — e.^ I \ pli — e^j
F0^'GT10NS ELLIPTIQUES 467
La formule [19) permet d'écrire
ou enfin
La formule d'addition des fonctions l (n" 330) permet encore d'écrire
u est un argument compris entre zéro et w^.
356. Mouvement d'un solide autour cTun point fixe dans le cas particulier où les forces ont une résultante passant par ce point.
Soient œ, y, z les coordonnées d'un point du solide par rapport à trois axes rectangulaires entraînés avec le solide et passant par le point fixe ; soient w la vitesse angulaire autour de l'axe instantané de rotation,/?, ^, r ses composantes. Nous supposerons encore que les axes de coordonnées coïncident avec les axes principaux de l'ellipsoïde d'inertie et nous appellerons A, B, G les moments d'inertie du solide par rapport à ces axes. Dans ces conditions, on démontre en mécanique que les équations du mouvement du solide seront
Af +(C-B)4,- = 0 j
Bg + (A~C)rp = 0 \ (81)
Nous poserons
p = aX, q = &Y, r ^= cl,
a, b, c étant de nouvelles constantes. Les équations (81) prendront la forme
^ ^ . ZX V (^2)
"^ YY
dt — — ^^ï'
à condition de déterminer a, ô, c par les équations
Aa + (C — B)bc = 0 \
B& + (A — G)ca = 0 [ (83)
Ce + (B — A)ab = 0 )
qui les déterminent aux signes près de deux d'entrés elles.
Mais les équations (82) ont précisément la forme (80) et l'on est amené à poser
Y = \/pt — e.
Z^slpt — ^3, ou encore, en introduisant une arbitraire X de plus,
'J Les constantes seront déterminées par les valeurs initiales supposées données de p, q, r, savoir ;?o, Ço, ^'o ; on a de plus
gj + ^2 -h ^3 = 0
Alors faisons / = 0 ; nous aurons
r,' = cHpl - e,).
Ces quatre dernières équations déterminent e^, e^» <^3' c'està-dire la fonction ^z^, et en outre la valeur particulière /)X, d'où l'on déduira X. A vrai dire '^ n'est déterminée qu'au signe près puisque
Mais de l'égalité
p = a \p\t -4- X) — e^ = aX et des égalités (82) on tire
f^X dp P\t + ^0 vy
dt. dt 2 \/p{t -^ X) — e^
ou
i/) , -' Po^yp^'o .
le signe du produit ahc étant connu sans ambiguïté, cette égalité fixe le signe de X, En se reportant aux formules (84) et en y faisant ^ = 0, on aura les signes de a et de 6 sans ambiguïté. Toutes les constantes sont connues et le mouvement de l'ellipsoïde d'inertie autour de l'axe instantané de rotation est déterminé.
357. 11 reste à étudier le déplacement des axes d'inertie par rapport à un système d'axes fixes OXYZ ayant la même origine. Si l'on désigne par 6 l'angle ZO-, par OM l'intersection des deux plans xOy et XOY, par ^ l'angle ^OM, par J; l'angle XOM, on voit en Mécanique que ces angles (angles d'Euler) sont donnés par les formules
K sin 0 sin o = Ap \ K sin 0 eus cp = Bj \ (83)
K cos e = Gr )
sin 0 -ri =p sin © H- g cos es. (86)
En additionnant membre à membre les équations (85) préalablement élevées au carré, on trouve
mais en multipliant les équations (81) respectivement par Ap, Bç', Cr et additionnant, on trouve
ou
K est donc une constante.
D'autre part en multipliant les équations (81) respectivement par/?, q, r et ajoutant on voit que
Aj32 -+ Bç^ -^ Cr2 = H, (88)
H étant une autre constante.
Les équations (85) feront connaître 0 et (f en fonction du temps ; multiplions l'équatiun (85) par K^ sin 0 et remplaçons K sin e sin cp, K sin 6 cos cp et entin K^ sin^ 0, c'est-à-dire K^ — K^ cos^ e, par leurs valeurs tirées des équations (85), Nous obtenons, pour déterminer 4^, l'équation
dt si l'on pose encore
t -\-\ = u, d'où
dt du'' la troisième équation (84) donne
r- =1 c~{pu — 63), et par suite l'équation (89) devient
^'^ K H — Ce- {pu — gg) du K" — C^c\pu — 63)'
c'est-à-dire qu'on a la forme
L, M et N étant des constantes faciles à calculer d'après ce qui précède. Or il existe des tables de fonctions elliptiques qui permettront de calculer un argument v tel que
N = pv,
et l'on pourra encore écrire
£^L L(N — M) du pu — pv
ou enfin
J; = Ui + L(N — M) / du
pu — pv
Pour effectuer cette dernière intégration, deux cas peuvent se présenter.
1° V peut être une demi-période coa : pv = e%. La formule (79) donne alors
pu — e^ (e|3 — e^) {e.^ — e^)
^ ^^^ = -, r^T r f— Uu + co ^ — e w -1- constante!. (91)
2° Ce cas exceptionnel étant écarté, on pourra employer la formule (74) qui donne
/ du
/ JjU — p-û
pv
t{u -+- v)du — j K(u — v)du — 2 wÇu 4- c'°
1 [log ^^±^\ - 2 uLv + C-] . (92)
Finalement, en désignant par R, S, T de nouvelles constantes, ^ se présentera sous la forme
(^ = Rti -H S log -) { -h T.
358. Remarquons que^ d'après (35), l'addition d'une période 2to à u augmente de 2 '/](u h- i? -4- to) le logarithme de <j(w -h u ) et de 2rj(M — ■?; + co) le logarithme de g(ic — v). Donc ^ se trouve accrue de la constante
la différence
2Rco -i-4r,uS = 2G
' 2 co
est donc périodique. Ce résultat est susceptible d'une interprétation géométrique, si Ton y ajoute ce fait que les angles o et 6 sont aussi fonctions périodiques du temps.
Si l'on rapporte le mouvement du corps solide à deux axes Ox^, Oyi qui tournent autour de Oz avec la vitesse constante
ly- , le mouvement relatif par rapport à ces axes sera périodique.
359. Nous n'étudierons pas plus longuement ces mouvements qu'on a appelés a mouvements à la Poinsot ». Nous renverrons pour cela aux Traités de Mécanique (*). Nous nous bornerons à énoncer quelques théorèmes qui ne sont que des interprétations géométriques d'égalités étabhes dans les n'^^ précédents.
Le mouvement du corps s'effectue comme si l'ellipsoïde d'inertie, dont le centre est fixe, restait tangent à un plan fixe : l'axe instantané de rotation est le rayon mené de l'origine au point de contact, et la vitesse instantanée de rotation est proportionnelle à la longueur de ce rayon.
(*) Voir par exemple le Cours de M. Sarrau à l'Ecole Polytechnique.
rONCTiONS ELLIPTIQUES 473
Le lieu des droites attachées au solide qui sont successivement axes de rotation est un cône du second degré; l'intersection de ce cône avec l'ellipsoïde d'inertie a été appelée par 'Pomsoi polhodie, c'est-à-dire chemin des pôles.
L'axe instantané de rotation coïncide à chaque instant avec une droite fixe de l'espace, et le lieu de ces dernières droites est un deuxième cône. Le mouvement peut encore être représenté par le roulement du premier cône sur le second.
Enfin Poinsot a désigné sous le nom àlierpolhodie le lieu géométrique, sur le plan fixe, des points de contact de Tellipsoïde d'inertie avec^ceplan. L'étude de cette dernière courbe dépend encore des fonctions elliptiques. Yoici comment :
Aa;'^ 4- B/- + 0.^2 ^ 1
l'équation de l'ellipsoïde d'inertie,
k^x^ + BV" 4- ^-z- = H (*),
l'équation d'un ellipsoïde qui, par son iiitersection avec le premier détermine la polhodie. Si, aux deux équations précédentes, on adjoint la suivante
œ"' ^rf ^ z^ = p^
on pourra calculer les coordonnées x, y, z d'un point M de la polhodie en fonction de i-a distance p au centre 0 de l'ellipsoïde d'inertie. On trouve ainsi
, B+C— H — BCp2
(A — Bj (G — A) et deux autres formules,, analogues pour y et z, par permutation circulaire ; il est facile d'en déduire la valeur de
ds- = dx~ -+- dy- -\- dz'^.
(*) H est le carré de l'inverse de la distance o du centre fixe de l'ellipsoïde d'inertie au plan tangent fixe.
- Désignons la, pour abréger, par la notation
ds^=f{o'>-)df.
Cela posé, nous rapporterons l'herpolhodie à des coordonnées polaires, r,o, ayant pour pôle la projection 0' du centre 0 sur le plan fixe. Au moment où le point M de la polhodie est point de contact de l'ellipsoïde avec le plan, il coïncide avec le point M' de llierpolliodie et Ton a
De plus, comme il y a roulement, les éléments d'arc des deux courbes coïncident, c'est-à-dire qu'en appelant ds^ le second, on a
ds^ = ds''-=f[f)df
D'autre part, on a
ds^^ = r^ c?tf^ -\- dr^
Donc l'équation différentielle de l'herpolhodie sera
Posons r~ = v; on en déduit
uS rr: r
«tp ^= ' (T^y
«2, p^ Y^ et r étant des constantes dont le lecteur trouvera sans peine la signification.
Soit alors
si l'on détermine la constante h par la condition que la somme des trois racines e^, e^, e^ du nouveau polynôme sous le radical soit nulle, on pourra poser
IV = pu,
u étant une nouvelle variable ; on aura ainsi
«? — / — p'udu
{Il — pu) y fi! {pu — ej {pu — 62) {P'^'' — ^3)
■ou, en changeant le nom dès constantes,
2 {Pu — M) , ^ , 2 /i — M ,
«C2 = — V 1 — ^ «^^ = — Idu -\- -. T — du.
Il — pu h — pu
On est ramené à une intégration que nous avons déjà appris •à etTectuer.
InfégTalîoii. Décomposilion en éléiiieiits simples
360. Nous avons vu (n° 48) que les intégrales elliptiques se ramènent toutes, en dernière anal3^se, aux intégrales
dx
dx
■dans lesquelles on a posé
X = 4 x^ — g.;yX — g^.
La connaissance des fonctions elliptiques permet d'achever l'intégration. Soit
X =^ pu, d'où y/X ^=zp'u.
La première devient
1^ = / du == t^ 4- G ; la deuxième
Ig = / puclu = — tu -\- C; enfin la troisième s'écrit
, I du __
^ ' /Jii — pa
si l'on introduit l'argument constant v tel que
pv =^ a, on obtient l'expression
pu — pv
qui a été intégrée au n° 357 et qui dépend en général, ainsi qu'on l'a vu, des fonctions u.
36 J. Plus généralement, on sait intégrer toute fonction rationnelle de pu. En effet traitant d'abord pu comme une variable, on peut décomposer la fonction rationnelle en une somme de fractions du type
{pu-pvf et en un polynôme
Si a = I, nous venons de voir qu'on sait intégrer la
fraction i — , ; on aura, par exemple, si v n'est pas une
demi-période,
1 , iCu -h v) ^ u'(,v pv ° cr(w — v) p'v
En différentiant les deux membres de cette égalité par rapport à u une fois, deux fois, etc., on obtiendra l'intégration voulue.
Reste à intégrer les monômes tels que {puY, et que nous écrirons, pour simplifier,/)'. A cet effet remarquons d'abord que l'identité
différentiée donne
ip' = lp"-^\g,. (94)
Difîérentions deux fois cette égalité, et du résultat éliminons/:)'"2 et />/>" à l'aide des identités précédentes. Nous trouverons
P" = '-hé-l9.-^^Qp"" (96)
En différentiant de nouveau deux fois la formule (9o), on obtiendra p'^ en fonction linéaire de p et de ses dérivées, puis /)% et ainsi de suite.
36!^. Une dernière question se pose. Est-il possible d'exprimer toutes les fonctions elliptiques à l'aide de celles que nous avons fait connaître ? Le génie d'Hermite a fourni la réponse, en donnant le moyen de décomposer toute fonction périodique en éléments simples. Voici comment.
Soit f{ii) une fonction elliptique, aux périodes 2coj et 2to,,
ayant dans un parallélogramme de périodes les pôles a, b, c
et telle de plus que dans le voisinage de chaque pôle le développement de la partie infinie soit connu. On aura, par exemple, aux environs du pôle a,
f(u) = ;; -H -: \7i~r + ••• H" — 2— i- + partie entière,
{u — a) [u — ay u — a
aux environs du pôle h,
/(") = ;: 7^ + -f {:j:iT + ••• + -^'— ' + partie entière,
etc.
Considérons la fonction
Elle est elliptique : en elïet comme les dérivées l!, C"... ^-^.' de t sont, au signe près, égales kp et à ses dérivées, c'est-àdire sont doublement périodiques, comme de plus on a, en désignant par 2to une période,
Uu — 7i Hr 2 w) = X,{u — k) -+-27.,
on aura
^{u + 2 a)) — (f(w) = 2r^(A^i -l-Bp i -\- •'■), c'est-à-dire (n-^ 323)
o{il -H 2 oj) — ç(w) r= 0.
En outre, dans le voisinage du pôle a, on a
t{ti — «) == ■ V- partie entière
r(-0 (^,«):,^ (,,).-. (ijzi)!^
■^et par suite
^^"^ = (;r=r^ "^ l^ic - a)^ - + - + û~~a -^ P^''^^" '^^^^^'" '
dans le voisinage du pôle b,
, , ^ B, Bo , . .
ïl'^O ^= 7 r^ "+^ 7 ,n3 i -f- ... -f- — '- — y -H partie entière,
' {u — oy [u — by u — b ^
et ainsi de suite. 11 en résulte que la fonction elliptique
n'a aucun pôle dans le parallélogramme des périodes, et par suite se réduit à une constante, et que l'on peut toujours mettre f(u) sous la forme
f{u) = (- \f-\ -—-jy^ &-^) (ic - a)
constante.
Telle est la formule d'Herraite.
