Considérons, par exemple, la fonction elliptique
ly J k\pu — pv j '
elle admet comme pôles doubles les pôles i« = 0, et m = — u (*) . On aura donc, d'après la formule d'Hermite,
f{u) = — KlSi + A,lu — BC'(w H- v) -+- ^it{u + u) + G.
Pour déterminer ces cinq constantes, il faut avoir le développement de f{iî) dans le voisinage de chacun de ses pôles. Autour de w = — v, on aura
pu =p{— v-\-u-\- v) =p{— v)+{u -hv) (/)'(— v) -h ^-^^^J^/)"(— u) + . . .
pic — pV , xf ,, %l-\-V ,„ 1
^ ^ {ii-Vv)\—p'v-\ 2" /y + "--
fiii) = r^, -)- partie entière.
' ^ ' {il -h V)- ^
DoncBi=0, B = l.
Comme la somme des résidus est nulle, A^ = 0 : on a d'ailleurs, aux environs de ii = 0,
pu — pV = -^ — pV -\- C^K,"' -f- ...
p'u — p'v = 3 — />î7 + 2 Cjt^ -h ...
(P:U-£vy ^ l ^^,,^ ^ y (1 ^^, ^ ^),
\pu — pv J u^ ^ ^
f(u) = "2 -t- 2/>y 4- termes ayant t« en facteur.
{*) Le point u = v n'est pas un pôle ; car la vraie valeur de la fraction, pour u = V,
n'est pas infinie.
FONCTlOiNS ELLIPTIQUES 481
On aura donc, au voisinage du point zéro,
On en lire
et fiaalemetit, en remplaçant /■(?<) et les constantes par leurs valeurs,
C'est la formule d'addition de la ionction/) déjà établie par deux autres méthodes.
364. 11 existe d'autres modes de décomposition des fonctions elliptiques. Par exemple, si Ton connaît dans un parallélogramme les zéros a^, a.^, a^ .... a„ et les pôles h^, h^ ... ft„, distincts ou non, de la fonction /"(^w), on pourra la mettre sous la forme
. <t(m «j) ct(î^ — .2«) it(w ttn)
A étant une constante; c'est ainsi que nous avons établi la formule (72).
On peut enfm exprimer la fonction /"(t^l au moj^en de^i^ et de ses dérivées. La méthode est la même; elle consiste toujours à constituer une fonction elliptique ayant les mêmes pôles et les mêmes zéros que la fonction proposée et, par conséquent, ne pouvant en dilïérer que par un facteur constant. Ainsi, si f(u) est paire, on pourra poser
A (pu — paj) (pit' — pa-^ ••• (/"< — pan) .qQ\
rW — ^^p^ p^j [pu-pb,) .... {pii-pb,,)' ^'-"^^
les zéros étant dz a,, ± a, ... ± a„, et les pôles ± b^ ± b, .... ±: &„. Les zéros peuvent d'ailleurs être distincts ou confondus; il en est de même pour les pôles. Mais les uns et les autres doivent essentiellement être des points-périodes.
Calcul ikfinitésim.vl 31
Supposons que l'on ait, par exemple, ai = a^ = . = «„ = période ; on posera
. {pu —pan+,) ■-. (pu — pan)
iw — A i^pufi^pu —pb,) {pu — pb,} ... {pu — pb^y
Si la fonction est impaire, son quotient par^'t^ sera pair et pourra être exprimé comme précédemment. Si la fonction n'est ni paire, ni impaire, on la considérera comme la somme
de deux fonctions, l'une --^^ — ly^ ^ qui est paire, et l'autre
fiu) — /■( — u) . , . . , , ,
'-^-^ — -^ qui est impaire ; et, par conséquent, on pourra
la mettre sous la forme
f{u) = *(/)w) H- p'u^J^pu),
les fonctions <t?{pu) et '^^{pu) étant des expressions rationnelles du type (98).
ÉQUATIOxNS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE A DEUX VARIABLES
Définîtîoiis — Intéarale générale
365. On nomme Equation différentielle à deux variables toute relation entre ces variables a? et ?/ et une ou plusieurs dérivées de ij par rapport à x. L'ordre le plus élevé de ces dérivées est, par définition, l'ordre de V équation différentielle.
L'équation du premier ordre a donc pour type général
* (■^' «' Si) = »• (')
On peut toutefois, théoriquement, la supposer résolue par rapport à -f- , c'est-à-dire ramenée à la forme
nous admettrons d'ailleurs que le second membre f{x,y) est continu tant que x Q.i y restent l'un et l'autre compris entre •certaines limites.
Cela posé, soient x^ et y^ des valeurs prises à volonté entre les limites prescrites : il existe une fonction F(^,a7o,?/o) et une
seule, se réduisant à y^ pour œ = x^ et, en outre, telle que Véquation (2) soit satisfaite lorsqu'on pose
C'est Cauchy qui a, le premier, démontré rigoureusement cette proposition fondamentale. Après lui, plusieurs géomètres (Briot et Bouquet, Picard) ont donné, du même théorème, des démonstrations qui, quoique moins compliquées, n'offrent pas encore un degré de simplicité suffisant pour être reproduites dans notre ouvrage.
L'équation (3) est dite Vintégrale générale de l'équation différentielle proposée (1) ou (2) (*).
366. Supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu entre les variables^ et?/ et une constante arbitraire C, une relation
telle que les expressions qu'on en tire pour ij et ^^ vérifient l'équation (2). Cette équation (4) coïncidera avec l'intégrale générale (3) ; car, si l'on détermine C par la condition o[x^,y^,G) = 0, la valeur de g tirée de (4) se réduira à y^^ pour
367. En différenliant l'équation (4) par rapport à x, on obtient
^o{x, y, C) 5cp(a;, y, C) dy ^ ^ i)X ô// dx '
d'où
ôco
dy
dx
(*) Sans entrer dans dés détails difficiles, on peut se rendre compte, par un simple aperçu, de l'existence de l'intégrale. En effet, on conçoit que, les valeurs initiales .^0,^0 des variables étant fixées, l'équation (2) fera correspondre à tout accroissement dx un accroissement dy bien déterminé, au moins tant que, en cheminant ainsi par accroissements successifs, on n'aura pas atteint certains points singuliers pour lesquels
4' est infini ou indéterminé.
ax
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 48o
Eu général, cette expression de -^ contient la constante C ;
elle ne saurait donc coïncider avec l'expression (2) qui, provenant immédiatement de l'équation différentielle proposée (1), ne renferme pas C. Mais il y aura évidemment identilé entre (•1) et (2) si on remplace, dans (5), G par l'expression
qu'on déduit de (4), ou, en d'autres termes, si l'on élimine C entre (4) et (5).
Ainsi, Véqualion différentielle résulte de F élimination de C entre Vinlégrale générale et sa dérivée par rapport à x.
Intégrales parliciilières et solutions singulières
368. On nomme intégrales particulières celles qu'on obtient en attribuant des valeurs déterminées quelconques à la constante arbitraire G qui figure dans l'intégrale générale.
369. L'équation différentielle (2) admet-elle d'autres solutions que la fonction y définie par la relation (4) ?
Pour répondre à cette question, rappelons, que l'équation différentielle (2) résulte (n° 367) de l'élimination de G entre (4) et (5). Getle équation différentielle peut donc être remplacée par les deux équations simultanées
dlj Ô^ ,V^
dx ôcp ^ ^
oii ?/ et G sont deux fonctions inconnues de^.
Si l'on difîérentie, dans cette bypothèse, l'équation (4) par rapport à :r, on a la relation
ô(p ôca dy ùcp c/G ^
^x iy dx i>C dx ' ou
dy i)x &G dC
dx ôcp L)tf) dx
qui, à cause de (5), devient
^1 dx ' "0C3 ^ ^
Le système formé par (4) et (3) équivaut au système formé par (4) et (6) ; et, tout se réduit à trouver deux fonctions y etC de X propres à vérifier ce dernier système.
Or, l'équation (6) se décompose dans les deux suivantes
L'équation (7) donne C = constante, ce qui reproduit l'intégrale générale. Les autres solutions ne peuvent donc être fournies que par l'équation (8) qui, jointe à (4), détermine y et C. On obtiendra la fonction y en éliminant C entre (4) et (8) ; cette fonction qui ne renferme pas de constante arbitraire reçoit le nom de solution singulière, à moins cependant qu'elle ne soit une intégrale particulière, c'est-à-dire à moins qu'on puisse la déduire de l'intégrale générale en particularisant la constante.
370. Quelle que soit la forme sous laquelle on prenne l'intégrale générale, Tapplication des règles précédentes doit nécessairement conduire aux mêmes solutions.
Lorsque l'équation (4) est résolue par rapport à y, la relation (8) se réduit à r^ = 0 puisqu'on a alors ^^^ = 1 .
Plus généralement, Vélimination de C entre les équations
cp(^, 2/, Cj == 0, et 1 = 0 (9)
donnera toutes les solutions singulières, si la dérivée partielle -p reste finie lorsque les quantités dont elle dépend conservent
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TREMIER ORDRE 487
des valeurs finies ; c'est ce qui a lieu quand ^(x, y, C) est une fonction bien déterminée et continue de x, y, et C.
3T1. Supposons que ^ et ?/ soient les coordonnées rectilignes d'un point quelconque d'un plan. Désignons par A la ligne représentée par la solution singulière et par B, B', B" ... les lignes représentées par l'intégrale générale dans laquelle on fait varier C d'une manière continue. D'après une règle connue, l'enveloppe des lignes B, B', B",... s'obtient en éliminant G entre l'intégrale générale et sa dérivée par rapport àC ; mais c'est précisément le calcul qui fournit l'équation de la ligne A. Donc, la ligne représentée par la solution singulière est l'enveloppe des lignes représentées par l'intégrale générale.
312. Voici des exemples de la détermination des solutions singulières ;
1° En éliminant C entre les relations
j/C(.r C)vg = 2C(.r-C)
on obtient
(siy+*-;'i+8^''=o c»)
Cette équation différentielle admet donc comme intégrale générale
ij = Q^[x-Cf (11)
C étant une constante arbitraire.
La seconde des équations (9) est ici
En éliminant C, d'abord entre la relation (H) et 57 = C, puis entre (11) et ^ = 3 C, on obtient respectivement les équations
La première (12) est une intégrale particulière qu'on déduit de l'intéorrale «énérale en attribuant à la constante C la valeur zéro.
La seconde (13) est une solution singulière, car il est impossible d'attribuer à C une valeur constante propre à rendre identiques les seconds membres de (11) et de (13).
2° En éliminant C entre les relations
