C)^+ 2/2 = RS X C

on obtient

yimi + y' = «'

Cette équation différentielle admet donc comme intégrale

générale

{x - Cf H- 2/2 = R2, (14)

C étant une constante arbitraire et R un nombre donné. La seconde des équations (9) est ici

et en éliminant C entre (14) et (15), on obtient la solution singulière

L'intégrale générale (14) représente un cercle de rayon dorné R et a5'ant pour centre un point arbitraire sur l'axe du a:- ; la solution singulière (16) représente le système de deux droites parallèles à Ox, situées de part et d'autre de cet axe, à une distance égale à R. Or, ce système de deux droites est évidemment l'enveloppe des cercles définis ci-dessus.

373. Nous allons maintenant abandonner les généralités sur les intégrales des équations différentielles du premier ordre à deux variables et nous occuper de la recherche de ces intégrales.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PRExMlER ORDRE 489

Les types des équations différentielles de ce genre que Ton sait intégrer sont fort peu nombreux. Nous allons les considérer successivement.

Lorsqu'on dit qu'une équation est intégrable, on entend en général par là qu'elle est réductible aux quadratures ; c'est ainsi que nous l'entendrons, au moins provisoirement. Nous verrons plus loin l'extension qu'a prise de nos jours le sens du mot intégrable.

Équations aux variables séparées Equations liouiogènes

374. « La séparation des variables », ditLagrange, « est a regardée avec raison comme un des meilleurs moyens que « les Géomètres aient imaginés pour intégrer les équations « différentielles du premier ordre. En effet, il est clair que « lorsqu'on a séparé les variables dans une équation, on peut « alors regarder chacun de ses membres comme une différence tielle particulière qui ne contient qu'une variable ; de sorte « qu'il n'y a plus qu'à prendre séparément l'intégrale de l'un « et de l'autre membre, en y ajoutant une constante arbitraire. »

Ainsi, soit le tj'^pe

XX^doc -h XjYf^y = 0, (17)

où X et Xj sont des fonctions de x seul et Y et Yi des fonctions de y seul. En divisant par Xi Yi on obtient l'équation

^- dx -\- ^ dy :=0

où les variables sont séparées ; on aura donc

y- cly = constanle (18)

pour l'intégrale générale de l'équation (17'

375. On intègre les équations différentielles homogènes ^ c'est-à-dire les équations de la forme

en posant

y = ux, (20)

ce qui conduit à une équation diiïérenlielle entre u et x dans laquelle les variables se séparent. On a, en elîet,

dij = udx 4- xdii

et l'équation (19) devient

'^^-'iP^du = ^, (21)

cp(z<) étant déterminé par la relation

En intégrant l'équation (21) dans laquelle les variables sont séparées, on obtient, G étant une constante arbitraire,

log X log Cf(î^) = log G

et par suite

X = Co(it)

Donc enfin, l'équation différentielle (19) a pour intégrale générale

'^ = Cy(^ ; (23)

et l'on voit que cette intégrale représente une famille de courbes homothétiques entre elles par rapport à l'origine.

Inversement, toute famille de courbes homothétiques, par rapport à V origine^ satisfait à une équation différentielle homogène du premier ordre. En effet, les tangentes à ces courbéehomothétiques, aux points situés sur un même rayon vecteur,

sont parallèles. Donc, pour les courbes en question, le coefficient angulaire y' ne dépend que de ^ et par suite l'équation différentielle à laquelle elles satisfont est de la forme

^ = fi'i dx \x

3T6. Un changement de variable permet de ramener aux types préce'dents, et par suite, d'intégrer l'équation

dy ^ / ax -H hy h- c \ /^^n

do:; '^\(i!x -h b'y -i- c'y ^"^

Si le déterminant A = ah' — ha' est différent de zéro, on posera

a^ •+ &2/ -I- c = V, a'x -+- h'y + c' = ii, (25)

d'où

adx + hdy = dv a' do; -\- h'dy = du,

et, par suite,

dx ^= -jr {h'dv — hdu), <^'J = T {adu — a' do). (26)

En vertu des relations (25) et (26), l'équation (24) devient la suivante

[« + i, (;-;)] du - [<,' + 1', (?)] dv = 0,

qiri rentre dans le type (19) des équations homogènes et que l'on sait par suite intégrer.

Si A est nul et si l'un au moins des éléments de ce déterminant, a par exemple, est différent de zéro, on posera

ax -h hy -h c ^= V, (27)

d'où résulte, puisque a n'est pas nul,

dx = ■■ (dv — hdy), (28)

D'ailleurs, en remplaçant h' par sa valeur

tirée de A = 0, on a

a'co + b'y + c' = - (u — c) + c'. (29)

Dès lors, en vertu des relations (27), (28), (29), l'équation différentielle (24) devient

dy = 'h {v) ^- {dv — bdij), (30)

où l'on désigne par -i [v) l'expression

et dans laquelle les variables se séparent sans difficulté comme dans toutes les équations difîérentielles où l'une des variables ne figure que par sa différentielle.

Enfin, si tous les éléments «, a' , h, h' du déterminant A sont nuls, le second membre de l'équation ditTérenlielle proposée (24) devient une constante donnée k, et l'on a immédiatement

y ■:=hx -\- c

où c est une constante arbitraire.

Equîiiîon linéaire Équations de Bernoiillî et de Jacobî

377. Une équation différentielle du premier ordre est dite linéaire lorsqu'elle est du premier degré par rapport à ?/ et à

$- ; elle est donc de la forme dx

g + Pj/ = 0. (31)

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRK 493

OÙ P et Q sont des fonctions de la variable indépendante x. Pour intégrer cette équation, on pose

y = uv, (32)

u et V étant deux fonctions auxiliaires de x ; puis, on spécifie l'une de ces fondions, v par exemple, de manière à simplifier l'équation diiïérentielle.

Eu égard à la valeur (32), l'équation (31) devient

dv du ,-, r\

u -, - -H V -y \- Vuv = u,

dx dx

Si l'on détermine alors v par la condition d'annuler la parenthèse, c'est-à-dire de satisfaire à la relation

l'équation (33) deviendra

Or, dans (34), les variables se séparent immédiatement : on a, en eiîet,

d'où, en intégrant,

^- -h Pdx = 0,

log V = — / Pdx,

et, par suite

On n'ajoute pas de constante parce qu'il suffit pour notre objet de connaître une valeur particulière de v satisfaisant à la relation (34).

Pour cette valeur de t\ l'équation (33) donne

d'oîi

dic = - Qdx,

u^ I ^ Qdœ -H c, (37)

c étant une constante arbitraire.

On a donc enfin, pour l'intégrale générale de l'équation proposée (31),

OÙ V désigne l'expression (36).

On voit d'ailleurs que l'intégration dépend de deux quadratures.