On nomme Equation de Bernoullli, Téquation

^ -h Pf/ = Qr, (39)

dans laquelle P et Q désignent des fonctions de x et n une constante.

Pour l'intégrer, on divise d'abord par?/", ce qui donne

puis, l'on pose

d'où

y-ndy = dz

L'équation différentielle proposée se trouve ramenée ainsi à la suivante

que l'on sait intégrer puisqu'elle est linéaire (n° 377).

380. On peut rattacher au type 39 les équations différentielles de la forme

Pj dx 4- Pg (i?/ + Q [xdy — ydo:) = 0 (40)

où Pj et Pj sont des fonctions homogènes de degré p et où Q est une fonction homogène de degré q.

Comme on a

P, = j:i^ci) '^

si l'on pose

d'où

dij = xdv -i- vdœ, xdy — ydx = x^dv,

l'équalion proposée devient

x'^'^ (u) clx H- x'^'^^ {p) {pcdv -\- vdx) -+■ x^ + ^ ^ (v) dv =^ 0. On peut d'ailleurs l'écrire de la manière suivante

ti£ , ÏM x = — ^(^) xi-p + '

do ï (u) + v'\> (v) o {v) -\- V'\i (u) '

et, sous cette forjne, on reconnaît une équation de Bernouilli (39).