LIVIIK I. — SECTION IV. — CIUPITRK XIII

de rebroussemeni de la surface Sv,, enveloppe de ce plan, sont

de la seconde on tire la valeur de L», qui, portée dans la première, fait connaître l'élément rfo-v, de l'arête de rebroussemeni; on a donc les deux équations

rfr,, rfo-y. __ / /-y. d(û rfv, \ ' </£, (hi " \bina ûfe, f/e; /

Ces deux équations font connaître : lat première, la distance d'un point de l'arête de rebroussement de la surface S,, au point correspondant de la courbe Cv,, et la seconde, le rayon de courbure de celte arête de rebroussement, et elles déterminent, conjointement avec les équations (|3) du n*" 195, les équations de cette courbe. En effet, les rapports spécifiques angulaires de la courbe donnée C et de la courbe Q étant

d(ù , , ^ doy, . . , de ' ' ^ •'■' de^ ■^•^''■'

en divisant la seconde des équations {^] par la première,

on trouve

6 cosa — sina

à sina -î- cosa

Relations entre les distances r^,, Tv,. — Pour une même valeur de l'angle a, les distances r,, et Tv, d'un point de la courbe aux deux points correspondants des courbes d'intersection Cx,, Cy, des surfaces St., Sv^ avec la surface 2^ ont entre elles les relations suivantes, qui résultent des équations (r^J, (r») :

-;-^ — langatangH,, — -

i\, ^ ^ ''t, ^- ''v, sin(5ta-4-H)

sin'a cos'a i

lesquelles sont d'une interprétation géométrique faeile.

198. Problème IV. — Trouver les intégrales des courbes telles qu'un plan mobile P mené par leur normale principale

RNVELOPPE d'un PLAN MOBILR. 3a3

et coupant leur tangente sous un angle constant a ait pour enveloppe une surface donnée.

Soit C^^ Taréte de rebroussement de cette surface ; il y a deux cas à considérer : celui où les coordonnées de cette arête sontconnues en fonction d'une variable indépendante, et celui où l*on ne connaît de cette courbe que les équations élémentaires.

Premier cas. — On tirera des équations de la courbe et des équations {^) du n® 195, les valeurs de dcr^^ et de (/&> en fonction de 6), que Ton prendra pour variable indépendante, et Ton intégrera le système des équations (L,,); ces équations, dont la seconde est l'équation résolvante, donneront L,, et r,, en fonction de &)i,'et, en projetant le périmètre de l'angle formé, par les deux côtés L,, et r,, sur les trois axes, on aura les coordonnées des intégrales des courbes cherchées. Dans ce cas, on n'a qu'à intégrer une seule équation différentielle du second ordre linéaire, l'équation en r,,.

Deuxième au. — Au moyen des équations naturelles de l'arête de rebroussement de la surface S,,, on calculera, comme précédemment, ûTcr,. et dtù en fonction de ck)., et l'on déterminera, par les mêmes équations, les deux variables Lt,, r,,; on portera ces valeurs dans les équations

rf^COSa: : Ttj rffii,

^5 sin a : — rfL-, — rfo--, — r-, rfw, ;

qui résultent des équations (rf*,J et (^o^tJ (196); on obtiendra ainsi l'élément ds de la courbe cherchée, et les équations ((3) feront connaître l'élément rfe; et, comme on a déjà calculé l'élémentcfo), on aura les équations élémentaires delà courbe C. Ensuite il faudra passer de ces équations aux coordonnées d'un point, ce qui est un calcul distinct et qui se rattache à une question traitée (67).

199. Application. — Les équations élémentaires de la courbe C, sont

■ 2 ) r/s-,, 9 f.h (hhj -y - — — -TTT-'

(i(Ax (tft^i -T » ;^sl^a

Oa déifi:it de cette demi«>re équation la ^enr snivanie, a ri moyen des équations 3 :

L'équation résolvante est alors

rfr,». tfvi, -^ 0 • ros:r

on intégrera e^tte équation, privée du dernier terme, en portant

m étant une indéterminée. Rar la substitution des valeors de rr, et de la dérivée seconde dan^ Téquation 4 » privée da dernier terme, on trouve la condition

f^t en représentant par a., ji, les deux racines de cette équation, on aura Tintégrale de Téquation 4 sans dernier terme ; la valeur de la fonction que nous appelons x sera

ensuite, par b variation des constantes, on trouvera l'intégrale de réqtiation 4 *

dans laquelle.Mi et M) sont les constantes arbitraires; on en d^^duit la valeur de Lt,

£NVBLOPPE d'un PLAN MOBILE. 325

Si Ton porte ces valeurs dans la première des équations (i), on trouve

( Ht — rit L J a (rt c), 4- 6)"« -' J

ni—ni L J «{«ût),^-6)"«-'J)'■ qui fait connaître l'élément ds de la courbe C L'équation (3) donne l'élément don de la même courbe, et l'on obtient, au moyen des équations (p) du n« 195, l'expression suivante de

l'élément (/e:

dt cola 1

rfw, ~~ («&>, 4- 6)* sina

§ II. — Mouvement général.

Nous allons maintenant étudier le mouvement général d*un plan dont un point Oparcourt une courbe donnée et dont la normale Oti forme, avec les trois axes fixes, des angles variables avec la position du point 0. Pour mettre de l'ordre dans celle question difficile, nous allons résoudre successivement les questions suivantes :

200. Problème V. — Connaissant les angles d*une droite Ti avec les trois axes d'un trièdre mobile^ déterminer le trièdre résultant du mouvement de cette droite.

Soient

a=^ cos (t,,t), b = cos (/i,p), c — cos (/i, v);

le principe des courbures inclinées donne les trois équations

Idîi cos(p,,T) r= da — bde= atdei, rfe, cos(pi, p) 3= rfé -4- ade -f- crfw == éirfci, . dti cos (pi, v] r=- de — bd(ù^=:^ Cxdty.

On déduit de ces équations l'angle dix et les cosinus des angles que p, faii avec les trots mobiles, cosinus que nous représentons para,, ^,, c.