LIVRE I. — SECTION IV. — CHAPITRE XIII
Si l'on représente par âay fr„ c, les cosinus de trois angles que y, fait avec les trois axes mobiles, on obtient de la même manière
/ rfw, cos (v,,T; - - bidei— adti — da^-- atdcùi^
[-?.) ' rfû)i COS(V,,0) : — flirfc— C.rfû) — érfe, — rfé, r - Ôjrfû,),,
' d(ùi cos (v,, y) = bid(ù — cdei — dcy~ c,d<ùi,
lesquelles font connaître ^/gl). et les angles que Taxe vt fait avec les trois axes mobiles.
On obtient de la même manière :
dbi - — Uide — Cirfw -f- A, rfw,,
dCi - - 62 rfû) -f- Ci dbix .
Ces trois dernières équations sont les équations de condition.
Problème VI. — Trois axes mobiles Ti, pi, Vi forment un trièdre résultant du mouvement de Ti ; trouver les relations angulaires de ces trois axes par rapport à trois axes mobiles T, p, y d'un trièdre résultant du mouvement de r.
Il y a d'abord six relations des cosinus des angles des axes du premier trièdre avec les axes du second, résultant de ce que ces deux trièdres sont rectangulaires. Il n'y a donc que trois nouvelles conditions à exprimer; ces conditions sont
ia, dti —-■ da — érfg, aida -h bidb ■+- ddc— — a,rf(k) 4- bide.
Cette dernière provient de la multiplication des équations (i) respectivement par a„ 6,, c, et de l'addition des équations résultantes.
Si l'on se donne dzi et doni en fonction de /, comme dt eidta sont aussi des fonctions de /, on aura neuf équations pour déterminer les neuf cosinus a, b, c; a„ 6„ c,; «2, 6„ c, : les six relations en termes Onis relatives aux cosinus et les trois équations différentielles (4;.
KMVKLOPPK D*UN FLAN U0B1L£. 827
201. Problème VIL — Un plan mobile P se meut par cette cbndition qu'un de ses points 0 [x,jr, z) parcourt une courbe C et que la normale Ti à ce plan forme des angles donnés avec les trois axes fixes; trouver l'intersection C,^ de la surface enveloppe Stj avec la surface Sp, que l'axe mobile Op, engendre.
Si nous représenions les élémenis de même nom des courbes C et Ctj par les mêmes lellres, celles qui se rapponeni à la courbe Ct, étant affectées de l'indice t., les équations^ relatives aux variations angulaires des axes Oti, Opi, Ovi seront données par les équations du n"* 200.
Équations différentielles de la courbe Ct,. — Si l'on se reporte à iayîgf. 1 1 du n'^SO, soient OM la distance du point 0 pris sur la courbe C à la génératrice MT de la surface S,,, distance que nous représentons par p,,, O'M' la distance infiniment voisine; 00' est l'élément ds de la courbe C, et ds^^ l'élément de la courbe Ct^; si l'on projette le périmètre du quadrilatère OO'M'M successivement sur les trois directions Oti, Op,, Ov,, on aura, en remarquant (81) que les directions de MP, M'P' sont celles de Ovi, Ov, dans la figure sphérique et que, par suite, Oti est perpendiculaire à ces deux génératrices, les trois équations suivantes :
i ds^^^ cos (?,, rfs,,) - - dscos (?,, ds] — p., rfe,,
({/5t,; \ ds-.^ cos (p., rf5.,) rf*COS (p., ds) + rfpT,,
\ rfj,, COS ;v,,rf*-,) ds C09 [Vifds] — p,. rfoi,.
Or, d'après ce que nous venons de dire» cos (ti, ds, ) est nul; d'une autre part, les angles (p,,rf5t,), (v,,rf5,,) sont complémentaires; on a donc les trois nouvelles équations
I p,,^^cos(T„r),
ds COS (Vi,T — pT, t/w,
l dsr, - : [d5C0S (v,, t) — pt»rf«,]' H- [ds cos (p^., T ^- dp.J,
qui font connaître la position du point M, la longueur de rélénienl ds.„ et sa direction. On déduit aussi les relations
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suivantes :
(rf,,)") cos(r.,r)
\ cos(ti,t) -
Enveloppe du plan mobile.
202. Jréte de rebroussemeni de la surface S», (/îgr- ^ *)• — Soil dlr, rélément d'arc de celle courbe, D», la dislance d'un poini de la courbe direcirice au point correspondanl de l'arêie de rebroussemeni, L,, ]a projection de celle dislance sur la tangente à l'arêle. Si l'on projette le périmètre du triangle MM'T sur les directions Ovt, Op., on aura les deux équations
il] I ^*^* ^os (y,, ds^^ ) =z t/2., -+- rfU, = ds^^ sin (p„ ds^^ ), ( rfst, cos (pi, rfj,, ) =- L,, rfû), -— rf*x, sin ( v,, rfit, ) ;
or, si Ton a égard aux équations [ds^^], oa aura les deux relations suivantes :
Ces deux équations fonf connaître la longueur L,,, l'élément d'arc rf2,, et le rayon de courbure ^— ^ de l'arête de rebroussemeni; on en déduit la valeur de D,.,
K = pi, + U. = pî. + [^ cos (p., r) + ^]'.
Équations cartésiennes. — Si l'on projette le périmètre du triadgie OTM sur les irois axes fixes, on aura, en représenlant para:', j', z' les coordonnées d'un poinl quelconque de l'arête,
a' — j; — p^, ros(p,,A)— ^cos p,,T^ -f- -^ cosiv„x), ^3
ENTKLOPPB d'un PLAN MORILB. 829
lesquelles feront connaître un point quelconque de l'arête en fonction de la variable indépendante.
Il nous resterait à étudier les enveloppes des faces du trièdre mobile OviTipi» perpendiculaires à Ovi et à Opi, ainsi que les surfaces réglées engendrées par les trois arêtes Oti, Opi, Ovi; mais cette question a été résolue dans notre Mémoire Sur les surfaces résultant du mouvement d'une droite. C'est à ce Mémoire que nous renvoyons le lecteur.
