LIVRE
SBCTION IV. — CHAPITRE Xlll.
à la courbe au point considéré et qu'elle est perpendiculaire au plan osculateur, lorsqu'elle passe par le centre de courbure.
195. Problème III. — Enveloppe d*un plan mobile passant constamment par la normale principale d'une courbe C et formant un angle constant avec la tangente.
Relations angulaires. — Soient Oti la direction perpendiculaire au plan; Ovi,Opi les deux autres arêtes du trièdre mobile résultant; on a [fig. 35]« en représentant par aTangle des
Fîg. 35.
cri
directions Or, Oti, les relations suivantes, qui sont évidentes :
cos(ti,t) = cosa, cos (t,,v) = sina, cos(ti,p) = o, cos(p,,t) = o, cos(p,,v) =o, cos{pi,p)= I,
cos(vi,t) =— - sina, cos (vi, v) == cosa, cos (vi,p) =o.
Si l'on différentie les deux cosinus des arcs (ti, p), (vi^p) en appliquant le théorème des courbures inclinées (i'O), on obtient deux équations, qui en# fournissent deux autres comme conséquence; ces équations sont
dix = dt cosa -h rfwsina, c?w, = — de sina -4- rfw cosa,
de = dix cosa — c/ût)isina, da}=z rfeisina -4- rfwicosa.
Si Ton élève au carré les équations de l'un et l'autre s^s-
BNYBLOPPB d'un PLAN MOBILE. Sig
tème et qu'on ajoute, on obtient la relation ( d\i ) de] -f- d(ù\ = rfe' H- d(ù\
Cette relation est évidente par la Géométrie, puisque les troisièmes arêtes Op, Opi des deux trièdres mobiles sont constamment superposées par la nature de la question.
Si l'on divise les équations de la première ligne par dn ou son égal c/»,, et qu'on introduise les cosinus des angles H, Hi que les droites rectifiantes Ors, Otsti des deux trièdres mobiles font avec les arêtes Ot, Oti, on trouve
(H) sinHi = sin (H — a), cosH, = cos(H — a);
on a ainsi cette proposition :
Les angles que les droites rectifiantes des trièdres mobiles font avec chacune des arêtes principales de ces trièdres ont une différence constante.
Intégration des équations (P). — Les équations (j3) s'intègrent et donnent, par une détermination convenable des droites à partir desquelles on compte les angles e, e., &), &)i, les relations suivantes :
\ 61 = 6 cosa H- û) sina, w, = — e sina-h w cosa, ( e=g, cosa — (k)|Sina, (ù = eiSina H-ck)i cosa.
Si la courbe C est donnée par ses équations naturelles, &> et £ sont connues en fonction de la variable indépendante /. Donc 61 et 6), sont également connues par suite des équations (P)' et réciproquement.
196. Intersection des surfaces St,. 2p. — La surface réglée 2^, n'est pas distincte de la surface réglée 2^, puisque les deux arêtes Op., Op sont toujours en coïncidence. Or la surface S,, rencontre constamment 2p, et nous nous proposons de déterminer la courbe d'intersection C,,. Nous affecterons de l'indice Ti inférieur les éléments relatifs à cette courbe; on trouvera ainsi {Jig. iidun^86) leséquationssuivanteSydansIesquellesr,, représente la distance de la courbe C au point correspondant
320 LIYRB I. — SECTION IV. — CHâPITBB XUI.
de la courbe Ct, :
/ dsr^ cos (t,, rf5,, ) = ds cosa — r,, dsi, ( rf*,. ) I ds^^ cos ( p„ A,. ) =z dr^,,
( rf^T, cos ( Vi, rf*,, ) = — rfs sin« — rt^ dcoi ;
el, comme cos(ti, ds^^) esl nul, on en déduit les relations suivantes :
ds Tt, = -7- cosa,
rfj^j = ( û?j sin a -f- r,, rfw, Y -+- rfrj,.
Ces équations sont susceptibles de deux autres formes, par suite des relations (H) et(P) dun'» 195.
sinll cosa
f j . p sinHcosH — r,, rfw
, tang p,,a5xj=:— 7-— ^-n — = W— »
{r ) { l ^^'\ ^*" ' cosarfr,,
, , ,sin"Hcos'H , , , , K j •, j , ds\^ = p* — ti A' -4- rfri = — V rfo)' -+- dr} .
Enveloppe du plan mobile ViOp. — Cette enveloppe S,, est caractérisée par son arête de rebroussement, dont les équations s'obtiennent immédiatement par les projections de la ligure infinitésimale MTM' (fig. 11 du n"* 86), en affectant de rindice ti les éléments de cette courbe; ces équations sont:
. ( ds^^ cos (v„ ds^^) = dL,, -4- rfa,.,
^ ^'*^ \ rfs,. sin(v„rf5,J = L,,û?Gt)„
on déduit de ces équations les deux suivantes :
'' d(ù d(ùi d(ùx \ ^* d(ù] I
^ ''^ ' d&3, ^* cosacosH, û^w?
\cusa </a), d(ji\ j
BNTBLOPPB D*UN PLAlf MOBILE. 321
Ces équations font connaître : la première» la distance d'un point de l'arête de rebroussement de St. au point correspondant de Tintersection de cette surfaceavec la surface réglée 2f;etla seconde, le rayon de courbure de cette arête de rebroussement, de sorte quesi la courbe C est connue par ses équations en termes finis ou par seséquations naturelles, Tarête de rebroussement de S^.seraégalementconnue: dans lepremiercas,par ses équations en termes finis; dans le second, par* ses équations naturelles.
197. Intersection des surfaces Sv,,2p. ~ La surface réglée 2^ rencontre aussi la surface S*^, qui est l'enveloppe du plan tiOpi; proposons-nous de déterminer la courbe d'intersection C., de ces deux surfaces, et affectons de l'indice vi inférieur les éléments relatifs à cette courbe; rv, étant la distance d'un de ces points au point de la courbe C, on trouvera [Jig. ii, n**86) les relations suivantes :
/ ds„^ cos (v,, rf5v, ) — — rfj sina — /;, rfw,,
( rf5v, cos (ti, rfjv, ) = ds cosa — Tv, rfe, ;
et, comme cos (r, ds^^) est nul, on déduit les relations suivantes :
ds
'■•• ^ - rf^/'"*'
; i\ \ l , j \ ds cos a. — Tv, rfe, ,
j tang(p.,rf5v.):- ^~-' '-,
■^ dsl^ -— ( ds cos a — Tv, rfe, Y -f- rfr',.
Ces équations sont aussi susceptibles d'une autre forme; par suite des équations (|3) du n^'lOS, on obtient ainsi
sinll
r. — p sina,
, cos H,
W { lang (pi » rf*v, ; :^ -i^ ?
' ^^ Mna rfr.,,
dsl rn —\ -f- rfr' .
' sina •
Enveloppe du plan mobile Ti Op. — Les équations de l'arête
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