CHAPITRE XIV

DÉTERMINATION D'UNE COURBE SITUÉE SUR UNE SURFACE D'APRÈS L'UNE DES DEUX ÉQUATIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA COURBE.

État de la question. — Comme il suffit de deux équations pour déterminer une courbe» si Ton donne la surface sur laquelle cette courb»est située, il sufût d'une seule équation nouvelle pour déterminer la courbe, cette seconde équation devant être Tune des deux équations élémentaires de cette courbe, ou une équation résultante. C'est cette détermination qui va être l'objet du présent Chapitre.

203. Problème I. — Étant données Véquation élémentaire sphérique d'une courbe et l'équation de la surface sur laquelle cette courbe est située^ calculer l'équation élémentaire plane de cette courbe.

Soient l'équation delà surface, rapportée à ses coordonnées cartésiennes,

et l'équation élémentaire sphérique de la courbe *

/ , dcù , , .

il s'agit de trouver l'équation élémentaire plane de la courbe qui fait connaître le rapport y ^ qui sera représenté par p.

332 LIVRE I. — âKGTlON V. — CHAPITRE XIV.

Si l'on différentie Téquation (i) par rapport à e, on aura la

(lifTérentielle complète de L, dans laquelle les dérivées des

{Hjp dy* dz variables seront p -7-9 9-4-^ 9 -j-^ ou bien, conformément à

^ ds ^ ds ^ ds

notre notation, pu, pr^» pr». Cn aura donc Téquation symbolique

pourabréger, nous représenterons le trinômeentre parenthèses se rapportant à t«, r^, r. par A,, et, lorsqu'il se rapportera à v«, Vj, Vj, ou à p«, p^, pM9 par Av» A^; d'après cela, l'équation (dL) pourra s'écrire sous la forme suivante :

AtL— -o.

Nous représenterons par A^AvL ou bien simplement par

A^L l'expression différentielle représentée par Texpressiou

' symbolique

dx

ix -ï h T.

^d^-^'-d^JV-Tùc-^'^d^-^'-dz)^'

pourvuque,lorsquelesmultiplicationssont effectuées, les produits par L représentent des différentielles, et ainsi de suite. D'après ces conventions, l'équation (i) et ses différentielles successives, jusqu'à la quatrième inclusivement, formeront le tableau suivant:

I L = o, AtL==:o, pA,%L -4- ApLr^ o, ^^ AiL + p'Ai,,L -h 3p A|,L - ^ AvL =^ o,

^A) j ^A,^L^-^^(3pA,^„L + 5A,^L)+p'Ai„L

6p>A,%L-f-3p(A;pL-^A»,L-^A|.L)

Puisque le rapport spécifique .- est donné en fonction de e,

DÊTBRMIN^TION D*UNE COURBB SITUfiB SUR UNE SUliPACB, ETC. 333

T:r, Tj., T„ V,, V,, v„ aînsî que p^yp^, p, qui ne dépendent que de

ce rapport, pourront être calculés et sont connus en fonction

de e (6^); on pourra donc tirer des trois premières équations (A)

les valeurs de x, y^ z en fonction de e et de p, et^ en portant

ces valeurs dans la quatrième, on aura une équation qui ne

dépendra que de p et de e, et sera différentielle du premier

ordre par rapport à ces variables : ce sera l'équation résolvante,

puisqu'elle donnera par son intégration la valeur de p ou, ce qui

ds est la même chose, de -r en fonction de e. Ainsi l'intégrale

de l'équation résolvante sera l'équation élémentaire plane de la courbe. c. q. f. d.

204. Application à la sphère, — Dans le cas présent, les cinq premières équations (A) donneront

p-H [xpx -^y^Px-^ zps] — O,

dp drù , .

d'p d (du,\ . .

- ^ [^9r 4- rpx -+- zp,) = o.

Si l'on élimine les trinômes entre parenthèses, entre les trois dernières équations, on obtient l'équation suivante, qui est linéaire du second ordre :

et qui s'intègre immédiatement. Elle donne, en représentant par A et a deux constantes arbitraires,

ds

p=:\COS(f^dt-ha)=j^',

telle est l'équation élémentaire plane des courbes sphériques, de sorte que les équations cartésiennes des courbes

334 LIVBK I. — SBCTION V. — CHAPITBB XIY.

sphériques, après le développement de leur surface osculaf rice sur un plan langent, seront

X — AfcosE cos (/^ dt -\- a] di^ r=^ S. /sine cos (fà de -h a) rfe.

Elles contiennent ta fonction arbitraire ^ qui peut prendre toutes les valeurs possibles. On voit, par ces équations» que, lorsque la courbe sphériqu^ appartient à la classe des hélices, ces courbes se transforment par le développement de leur surface osculatrice en épicycloïdes; en efTet, dans ce cas, -if est une constante m, et Téquatîon élémentaire plane de la courbe sphérique est

ds . . , .

-7- ~ A cos me -4- « .

dt ^

205. Application à Vellipsoîde. — On a les cinq équations suivantes, le signe S s'ctendant à toutes les variables :

--— I— o, S --— o, pS— -4-S-Y=o, a^ «* ' a^ a}

dp ^r;. r^TrO, dff) xv^

dt a'- ' a' de a'

■*- ^P^ ? - 5e U^J «'" ~ '^ ^ «' ~ rf^ "^ " **•

Si, entre les trois dernières équations, on élimine S - - et

rt'

s — ' » et qu'on représente les dérivées de p et ck) par ces lettrès accentuées, on obtient l'équation différentielle suivante :

DÉTERMINATION D*UNB COURBB 6ITUÉB SUR UNE SURFACE, ETC. 335

qui est linéaire et du second ordre, et dont Tiniégration donnera réquation naturelle du premier ordre de la caractéristique plane des courbes ellipsoïdes.

Danscetteapplication, commedanslaprécédente^nousavons fait usage de la cinquième des équations (Aj du n* 203, parce que notre but était d'obtenir une équation linéaire du second ordre. Si nous n'avions pas eu recours à cette équation^ nous aurions obtenu une équation différentielle du premier ordre, mais non linéaire.

206. Problème II. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème /, déterminer les coordonnées de la courbe.

Première méthode. — Elle consiste à calculer Téquation différentielle de la caractéristique plane comme on Ta indiqué au n**203; l'intégration de cette équation fait connaître l'élément ds en fonction de la variable indépendante; mais, comme T,, Tj, Zt sont également connus en fonction de la même variable (6&), on aura les équations

a; - fzxds, y^J^rds, z -^J'-.dsy

qui donneront les coordonnées de la courbe en fonction de la même variable.

Application à la courbe sphérique hélicolde, — Dans ce cas, le rapport spécifique n étant constant, il faut prendre pour r,, T;., r, les valeurs de t*-i, ->,, r^-i du n® 154; on obtient ainsi les formules suivantes :

X T-- a/sine cos [nt-\- z„) de, jr :— - ocfcose cos (/16 H- gp) rfe, z :--.:— p/cos (ne -f- e,)rfe;

ces équations sont celles d'une hélice tracée sur un cylindre dont la directrice est une épicycloTde; et, lorsque l'on développe ce cylindre sur le plan tangent à ce cylindre, la courbe en question se transforme également en épicycloïde. Si Ton effectue les intégrations, on obtient les valeurs sul-