LIVRK 1. — SECTION V. — CHAPITRE XIV
vantes des coordonnées, sc^, j«, z, étant des constantes arbitraires :
X — x^= —7 r cosffn — i)£ -i-e,] — -,- — r cos Un 4- iVi -f-e«j,
r -r* =^-^- ^(/ ,) sin [(/i - i)e + £.] - 7-^^ sin [(/* -4- r) g h- e.],
z — ^, =- — •- sin ne -f- £« .
207. Deuxième méthode. — La troisième des équations (A) fait tonnattre p en fonction de e» ^9 j» 2 ; on aura donc les trois équations suivantes :
ffx dr dz ApL
de T, de t^ r/g t. A', L '
or, si l'on élimine deux des trois variables^, y, z du second membre au moyen des deux premières équations (A), qui ne dépendent que de e, x,y^ z, on aura une équation différentielle du premier ordre entre une de ces trois variables et e. On intégrera cette équation; l'intégrale, prise simultanément avec les deux premières équations (A), fournira les coordonnées de la courbe. Cette seconde méthode sera toujours plus complexe que la précédente, et donnera lieu à des calculs plus longs.
Surface à sections parallèles elliptiques, — Appliquons cette
méthode à la surface
dans laquelle ^(z) représente une fonction arbitraire de ^. On reconnaît qu'elle est produite par le mouvement d'une ellipse, variable de forme, qui se meut parallèlement à ellemême» de telle sorte qu'elle reste semblable à une ellipse donnée, et que son centre décrive une droite perpendiculaire au plan de l'ellipse. Les trois premières équations (A) sont l'équation donnée (tt^
DÉTERMINATION d'UNB COURBE SITUÉE SUR UNE SURFACE, ETC. 337
et ses deux différentielles par rapport à e, qui sonl
^P' . XP
si Ton résout les deux premières équations par rapport à x et à X* et qu'on pose, pour abréger,
on trouvera
a~ If , Ir ' ^ ~~ ^1 ~^ '
par conséquent, l'équation différentielle sera
Trt/e
208. Application. — i® Si la surface proposée est un cône elliptique, on a
m[z)=: -9 Js/{z)-=-'i c/'(3)=--,
et réquation différentielle précédente devient
dans laquelle les variables sont séparées, puisque le second membre est une fonction de e.
Ta
338 LIVRE I. — SKCTION V. — CBAPITRK XIV.
?• Si le cône est circulaire, il faut faire a = é, ci l'équation devient successivement
dz c^a} ca
zdt
/i-Ti\ /Tj ri »\
dz — pgrfe
V, rfs
Si maintenant on suppose que les courbes coniques dont il s'agit appartiennent à la classe des hélices, le rapport spécifique angulaire étant constant, on trouve pour r«, t^, t, les valeurs de Tx m t^-i, t,-, du n** 155; la formule (i) précédente devient
— =: ôae
■^l^ "" t; Isinecosert — ri/ — sin*e -f- rrcos'e — •-- — sin^e -h -r- cos'e ) ( — sm'e -h tt cos'e — ^ )
dont l'intégration dépend des fonctions elliptiques. Si le cône est circulaire, la formule (2) se réduit à la forme suivante, en représentant le facteur constant de dt par m :
dz j
:rr: mdt ;
donc l'intégrale est
z^ étant la constante d'intégration, et l'on trouve, comme la chose est évidente, la spirale conique.
