DÉTERMINATION D*UNE COURBE SITUÉE SUR UNE SURFAGK, ETC

209. Problème III. — Étant donnée l'équation élémentaire de la caractéristique plane d'une courbe et la surface sur laquelle cette courbe est tracée^ trouver les coordonnées de la courbe,

'Les données du problème sont

(i) __ = cp,;e:, L=ro,

auxquelles il faut joindre les deux suivantes : dx* dr^ dz* ^

de' ■ de' "^ de' ^ ^"

£i—\ ^IélS iL{—\

de\pde) ((i\pds) de\pde) ^ '

or, si Ton différentie trois fois l'équation L par rapport à e, deux fois la première des équations (2] et une fois la dernière, on aura neuf équations entre lesquelles on pourra éliminer deux des coordonnées et leurs dérivées première, deuxième et troisième, et Ton obtiendra leur équation finale

qui sera une fonction de la variable indépendante e et de la troisième coordonnée qui y entrera en même temps que ses dérivées, première, deuxième et troisième. Ce sera une équation différentielle du troisième ordre, dont l'intégration fera connaître la variable en fonction de e; et l'on trouvera, sans nouvelle intégration, les deux autres coordonnées au moyen des équations du système.

Cette question, dans la pratique, présente de grandes complications; cependant elle peut être résolue dans quelques cas particuliers.

Application à la sphère. — Nous avons déjà trouvé, au n"* 20ii<, la relation suivante dans laquelle po est une constante:

G — p,cos(/4^rf£ -f- a^ ;

34o LIVRE I. — SECTION V. — CBAP. XIV. — DÉTERMINATION, BTC.

on déduit de cette équation

dp 9'(0^e .

^dt

^Pi-P' \/pj-?(^)

on connaîtra donc ^ en fonction de e. On sera alors conduit a la détermination des angles que la tangente à la courbe cherchée fait avec trois axes fixes, question déjà traitée au n® 75, et qui dépend d'une équation du troisième ordre, réductible au premier; soient t„ t^, t, les valeurs obtenues des cosinus de ces angles; on aura les trois coordonnées données par les équations

Ce serait actuellement le cas de poser le problème de la détermination de la courbe par la connaissance de son équation géodésique élémentaire, laquelle implique la connaissance de Tangle de contingence géodésique de la courbe par rapport à une surface aussi donnée sur laquelle cette courbe est tracée; mais celte question a été traitée par nous dans YArutlfse infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelconque^ page 236.

DES TRAJECTOIRES DES TANGENTES D*UNB COURBE. 34 t