DES TRAJECTOIRES DES TAINGENTES D'UNE COURBE

Lorsqu'une droite se meut de manière à rester tangente aux di£férents points d'une courbe et qu'en même temps un point se meut sur cette tangente, ce point décrit une trajectoire des diverses positions de la tangente. Les courbes ainsi obtenues sont très-variées et comprennent diverses théories, suivant la loi du mouvement du point sur la tangente; elles donnent lieu à des problèmes intéressants de Calcul intégral. C'est cette étude qui va être l'objet de ce Chapitre.

§ L — Propriétés générales.

210. Relations angulaires. — Ces relations, qui contiennent celles que nous avons établies au n® 192, se démontrent toutes, soit par l'introduction de la surface osculatrice, soit par le principe des courbures Inclinées. Si nous restons fidèle à notre notation, en représentant les éléments de la courbe donnée C et les éléments de la trajectoire Ci par les mêmes lettres, celles qui se rapportent à la seconde étant affectées de l'indice inférieur i, et en appelant a l'angle de la tangente Oti à la courbe Ci avec la tangente Ozde la courbe C, nous aurons [/ig. 3i) les équations suivantes :

; cos(t,,t) — cosa, cos(tj, p) — sina, cos(t,, v) = o,

I / X . ds -i- (h , . ds -h doL , . . rA»

. J COS(ppT)- — Sina — î7—f COS(p,,p) r:= cosa- - — » C08(p,,v) = — Sina --

, . . , doi , , dbi , , dt -\- dx

COS(v,,T) -- — Sin'a-T-) COS(v,,r/) . COSasma-;-, C06(v,,v)^ ,

dz. \ I « / fil \ * fil