LIVRE I. — SECTION Y. — CHAPITRE XT

dans lesquelles dzx est donnée par la relation

(ûfe, ) dt\ — rfû»»sin'a -f- rf(e -r- a)^

Détermination des signes. ■=— Lorsque les seconds membres des équations [a] de la dernière ligne horizontale ont été obtenus par le théorème des carrés des cosinus, ils ont un double signe; mais, si nous restons fidèle à nos conventions, on détermine le signe qu'il faut admettre, de la manière suivante; les triangles sphériques vviT, piTip, Vivp, ptTit donnent directement les relations suivantes :

(cos(v,,t)== cos(p,, v)sina, cos(p,,p'= cos(v,, y)cosa- '^' \ cos(v,,p) = — -cos(p,,i/)cosa, ■cos(p,, ?)::= — cos(y,,y')sîna.

Or elles sont aussi une conséquence des équations (a): la première résulte des équations (a), sixième et septième; la deuxième, des équations (a), cinquième et neuvième; la troisième, deséquations(a), sixième et huitième; la quatrième, des équations (a), quatrième et neuvième; par conséquent, les signes des cosinus que Ovi fait avec les trois arêtes Ot, Ov, Op se trouvent déterminés par cette identification.

Fariation angulaire de l'arête Ovi. — Cette variation rfw, s'obtient soit par la Géométrie, comme on le fait au n"" 95, soii par l'Analyse, en appliquant le théorème des courbures inclinées au cosinus de l'angle (v, vi); on obtient la relation

( d(ùi ) rfcoi — rf [ Vi , V ; — d(ù cos a = o,

jRe/ario/i*/iWa/r^*.— Elles s'obtiennentdireciementL/?g^. Il), n^ 197; on trouve ainsi les deux équations

\ dst sina -- Lrfe,

1 dsiC0sa^= d{s -h L)^

desquelles on déduit les deux suivantes :

de de

Équations canoniques. — Ces équations, qui donnent toute l'économie géométrique de l'une des deux courbes, lorsque

DES TRAJECTOIRES DKS TANGBNTBS D*UNB GOUHBB. 343

Tautre est connue, sont renfermées dans les deux équations {ds^) et dans les trois équations suivantes» où l'on représente par 9 Tangle (vi, v), qui est Tangle que les plans osculateurs des deux courbes font entre eux pour deux points correspondants, lesquels résultent des équations (a)

Idsi sinç = dcùslna, rfeiC0S9 = rfe -f-rfa, dcùi = d(f -T- d(ù cosa. ■

211, Problêhb I. — Deux trièdres trirectangles (yîg'.3i) Orvp, OriViptSont telsque l'arête Oti du second reste dans leplanOrp;

le rapport spécifique angulaire ■—■ du second étant donné en

fonction de e,, ainsi que l'angle qu'une des arêtes du premier fait avec l'une des arêtes du second, trouver les autres angles des arêtes de l'un avec les arêtes de l'autre.

Formons le tableau des angles que ces deux trièdres font entre eux en formant un rectangle dont chaque côté a été divisé en trois parties égales; et par les points

iP^^p)

de division, menons des parallèles aux côtés; nous écrivons horizontalement, sur les lignes verticales, les lettres r. p, v et verticalement, en correspondance avec les lignes horizontales, les lettres Ti, pi, v,. Comme Tangle (ti, v] est nul, les deux angles (t,,t) et (t,,p) sont complémentaires, ainsi que les deux angles (pi, v], (v., v). On voit de plus que la position du second trièdre par rapport au premier est identiquement la même que celle du premier par rapport au second; car, si l'arête Ti du second est située dans le plan rOp du premier, l'arête v du premier est située dans le plan ViOpi du second, de

344 LlYtiH I. — SECTION V. — CHAPITRE XY.

sorte que, pour passer d'une relation démontrée pour l'un des deux trièdres a la relation correspondante du second, il suffît de changer t, p, v en v„ p,, t„ et réciproquement. Cela posé, examinons successivement les cas suivants :

I" (ti, t) est donné en fonction rfe e,. — La dernière des équations (y) du n° 210 conduit à Téquation différentielle

laquelle, par intégration, donne (v„v) en fonction de e.; les relations ((3) font connaître, en termes finis, les huit angles restants.

2" (pi, t) est donné. — La quatrième des équations (P) donne la relation

col T„ T — — ^^ r-^ -y

et, en portant cette valeur dans l'équation (i), on trouve l'équation différentielle suivante:

^ ' dit cos(p„r) ^ ^ dit

dont l'intégration fait connaître l'angle (v., v); et les autres angles s'obtiennent en termes finis au moyen des équations (^). 3" (vi, t) est donné. — Comme les angles (pi, v) et (v», v) sont complémentaires, la première équation (^j donne

. / , cos(v,,t)

Sm Tf,T = ; ; r>

^ ' sin(vi,vj

et, en portant cette valeur dans l'équation (i), on trouve l'équation différentielle

,. rf(vi,v) sin(v„v) /-T-TT 1 z — ;,• \ dch

laquelle fait connaître l'angle (vi,v), et par conséquent les autres angles.

4* ('»P) ^*' donné. — Comme (Ti,p est complémentaire

DES TRAJECTOIRES DES TANGBKTES d'uNE COURBE. 345

de (t,,t), l'équation (i) deviendra

(4) — ^— ^ -»-lang(T.,p)sin(v.,v)-^y- =0.

5® [pi, p) est donné. -— La deuxième des éc|uations ((3) donne la valeur

'^^(^ ^^cos(p.,p)

COS {ti,T) — — ■ — -, ; y