COS (V|, VI

et par suite Téquation (i) devient

.^. rf(v,,ï/) cos(p„p)sin (v,, v) rfo),

"^» ^sin*(p,,p) — sin'(v,, vj "^'

qui fera connaître l'angle (v,, v], et par suite tous les autres. G*" (y,, p) est donné. — La troisième des équations (P) donne

la relation

, , cos(v,,p)

^ smiv,,v)

. en portant cette valeur dans l'équation (i), on trouve l'équation différentielle

,^. </(v„v) cos(v,,p) sin (v,, v) rfro,

"^» v'sin'{v,,v) — cos'tv.fp) "fi»

7° (pi, v) est donné. ~ L'équation (i) donne immédiatement la relation

7 COt T,,T =:— --J — f>

^" V ' / cre, COS (pi, y)

qui fait connaître l'angle (ti,t] par une simple différentiation, et, par conséquent, tous autres angles.

8* (y„ y) est donné. — La même équation (i) donne la formule

8 cotT„r =-T — ~ r-

^ ' ^ ' ae, sin(y„y)

212. Problèbie h. — Les mêmes conditions étant données que dans le problème précédent^ le rapport spécifique — du premier trièdre est donné en fonction rfew, ainsi que l'angle

346 LlYtE I. — SECTION Y. — CHAPITRE XT.

qu'une des aréies du premier trièdre fait avec une des aréics du second; trouver les autres angles des arêtes de l'un CLvev les arêtes de l'autre.

D*après la remarque que nous avons faite au n** 211, sur les propriétés des deux trièdres, pour passer des difTérents cas considérés dans le problème précédent aux cas correspondants du problème actuel, il suffit de changer, dans les formules de ce numéro, r, p, v en v,, p,, ti, et réciproquement, et duh en dt et dt^ en du ; on aura ainsi huit formules correspondantes; mais le calcul peut être fait directement.

I* (v, Vi) est donné, — Si Ton divise l'une par l'autre les deux premières équations (y), on trouve l'équation résolvante :

■>/ --^ col(v„y)sin{T„T; -h^=ro.

Cette équation fait connaître, par son intégration, l'angle (ti,t) en fonction de o). On connaît donc, en fonction de (o, les cinq angles de la première ligne horizontale et de la dernière ligne verticale du tableau (A); on connaîtra les quatre autres au moyen des quatre formules (^].

2" (p, y,) est donné. — On a, par suite des équations ( P),

. ^ cos(v,,p) sm .V,, V] = — —'t

et, en portant cette valeur dans l'équation (i)', on trouve

,, rf;?.,?; sin (-,T^ ^^- Je

3° (t, V,) est donné. -— On a, par la première des équations ((3), la relation

•. / , cos(t, v,^.

sm y,,v^ = : — ; ■;

smt?, T.j

et, en portant cette valeur dans l'équation (i)', on trouve l'équation résolvante :

' dcû cos(v„ t) ' d(o

On obtiendra de même les autres équations.

DES TRAJECTOIRES DES TANGENTES d'uNE COURBE. 347

Nature des équations résolvantes. — Les cqualions que nous venons de trouver, en quelque sorte intuitivement, ont une grande Importance dans la théorie des courbes, comme cela va être mis en évidence dans les numéros suivants. Le succès des questions très-multipliées qui se présentent dépend de l'intégration de ces équations, à l'exception du cas oii les problèmes posés conduisentaux équations (7) et (8) du n°211.

Ces équations se rapportent à trois types différents, qui sont caractérisés par les équations (i), (2) et (5) du n° 211. Le premier type que nous avons rencontré au n*" 76 se ramène, comme nous Tavons démontré, à Téquation d'£uler, ou bien à une équation linéaire du second ordre, n^77.