IL — APPLICATIONS

213. Problème IIL — Lieu des extrémités des tangentes égales menées à une courbe donnée C.

II sufGt de supposer la tangente L constante dans les formules du n* 21Ô.

Tangente. — On trouve la formule suivante :

(1) p = Lcot3:;

donc, si Ton joint le centre de courbure de la courbe C à l'extrémité de la tangente L par une droite, cette ligne sera perpendiculaire à la tangente à la courbe Ci, lieu des extrémités des tangentes L.

Plan oscuiateur. — L'angle des plans osculateurs des courbes C et C, en des points correspondants s'obtient en divisant l'une par l'autre les deux premières équations (y) du

da n" 210; on obtient ainsi, après avoir éliminé — au moyen de

l'équation (i), la relation suivante :

, . -o 0 — p'sinacosa

(2) coto = - ^— '

psina

qui donne l'angle (v,, y] par une construction facile. Rayon de courbure. — Si l'on divise la première des équa-

348 LIVtE I. — SECTlOlf V. — CHAPITRE XV.

lions (y) par la première deséqualions [dst] dun" 2i0, on trouve

f-iy sîno psin'a

6| Lt

qui donne le rayon p, par une quatrième proporlionneHe.

Baxon de flexion. —Si l'on divise la dernière équallon (/ par la première équation [ds,], membre à membre, onobiieni la relation

ï p . /oosa do\

:. = !'""«(— ^rfi-)-

Équations élémentaires. — Soient cj(e) ei ^ [e) les rapports spéciGques linéaire et angulaire de la courbe donnée C, les équations (i) et (2) donnent

rfr w(e)"ï

I -h y I arc cot = — I — I a = arccoi = ^=y^, C0I9— ^'- *" » .

Ts^e'

9 e ) sm arc cot = — | — I

et, conséquemment, on a les trois équations suivantes, qui sont des conséquences immédiates des équations (</*,) et (y ,

ds, L

de ~ , l Gj;ei f

sin arc cot = — y—

, sin arc cot = —— |

de -^^'^ ^ÛT^

i dr w{e)l\

--fr='^ (e)cos arccot = --fi -h — , -^ ^ l

L L J deï r Gj fTi

[4y(e)sinj arccot=::-|-^

Coordonnées du point. — Si Ton représente parx,,^„-3iles coordonnées d'un point de la courbe C„ et par x, y, z les coordonnées du point correspondant de la courbe C, on a les équations

eus 7,^-; CUh^T,^) ; ~ COS(T, z ~~ '

qui sont les équations cartésiennes de la courbe C,.

DBS TRAJECTOIRES DES TANGENTES d'uNE COURBE. 349

214. Problème IV. — Tracer sur une surface développabîe une courbe Ci tellcy que la normale à cette courbe, menée dans le plan tangent, intercepte sur la normale principale de V arête de rebroussement une longueur constante b.

Tangente. — Les équalions [dsi] du n? 210 donnent, avec les conditions du problème, les relations

(i) L = 6tanga, b dz z=z ds -¥■ dL;

si Ton intègre cette dernière, on trouve la relation» bz^ étant la constante,

(2) . L H- 5 rzr 6 (e — £0) ;

par suite, on a l'expression de la tangente,

(3) lAngaz=: ^i V.

Les équations (2) et (3) donnent la longueur L et la direction de la tangente.

Jrc. — La première des équations [dsx] donne, en ayant égard aux valeurs de a et de L, l'expression suivante :

(4) ds, = de )/b'-^ [b (6 — e.) — s]\

qui devient, par intégration

Plan osculateur. — La position de ce plan est donnée par Tangle 9; or, si Ton divise Tune par l'autre les deux premières équations (y) du n® 210, on trouve, V étant la dérivée de L par rapport à e,

5 cotQ := — : — 1 4- ^-cosasina )• ^ ^ ^ p'smor \ L /

Rayons de courbure et de flexion. — Si Ton divise Tune et l'autre des deux premières équations [y] parla première équation [dsx]y on trouve les deux expressions suivantes de la courbure :

^, I sin*a p I sina / L' * . \