LIVRE I. — SECTION V. — GHAPITBB XY

Équations naturelles.— -L^s équations (y) du n^210 donnent

,, L'rfo)' r, (p'-hL")L-(p-hL')L' Il

(p-+-L')rfro

216. Problème VI. — Trouver les développantes obliques d*une courbe donnée C sous un angle a, variant d'après une loi donnée (158).

On déduit des équations (dsi) du n® 210 les deux suivantes :

IdL . ds

-j cola L 4- nr = Of dz de

ds] = L'rfs» -f- ( e/* -h dLY;

l'intégrale de la première est, en posant cota égale à n, et conséquemment la deuxième des équations [dsi) est

(3) ^^:^(L.-/c-/-'*rf5).

^ «e sina^ "^

Plan osculateur. — Les équations [y) du n® 201 donnent la relation

, , . rfe -4- rfa 1^ / ' rfa\

4 cot9== -. — ; — ^- — - -*- :r »

^ ' ^ acosma sina \p ds ]

qui fait connaître l'angle 9 en fonction de £.

Rayons de courbure et de flexion. — Si Ton divise la première et la dernière des équations (y) par la première des équations (^5,), on trouve les expressions

I I c/cosin'a p sin*a

p, L ^esin9 Lt. sincp

^ ' il sina (do p \

( — ~ --=:— -/ 4- ^ COSa .

\ V, L \at V /

BBS TBAJBCTOIRKS DBg TARGKRTCS D*UMB GOORDR. 353

Équations élémentaires. ~ On trouve sans difflculiéy au moyen des équations (</ei) du n'*210 et de la dernière des équations (y), les deux relations

IrfeJ =rfw'sin*a-4-(rf£-4- da)\ </û)i=:aarc ( cot= -. — : ) 4-awcosa, \ aa>sina/

qui, prises simultanément avec l'équation (3), sont les trois équations élémentaires de la courbe Ci, par rapport à la variable indépendante e.

217. Problème VII. — Étant données les équations naturelles d'une courbe Ci, on suppose que cette courbe est tracée sur la surface osculalrice d*une seconde courbe C, et V angle du plan osculateur Ci et du plan tangent à la surface est aussi donné : déterminer les équations naturelles de la courbe C.

Les données de la question sont

La troisième et la première des équations (y) donnent immédiatement, en représentant les fonctions par leurs signes caractéristiques :

(a) cota = — Il^J^ » rf« = ds V'sia'/. -f- {^.^ •+/',)*•

Ces équations donnent a et o) en fonction de £i ; les deux pre* mières des équations (y) donnent, par leur intégration, les formules suivantes :

(3) £ = arc (col='.^^i^) -h/cos/r/E.,

(4) ai=/rf£.Vsln'/.-f-(/;-hq;.)N

or la première des équations (dsx) du n"* 210 donne

, — cj, sin ( arc col = ^-^ — ^ |

(5) L=,a.isiD«= A. — ,— '^";/' Vv

'^ «£, \ sin/, /

cos

"^ azx \ sînj

354 LIVRE I. — SBCTION V. — CHAPITKB XT.

et par suite la seconde donnera l'équation

HTi sin ( arccot = ' . J )

J [sin'y;

Le problème dépend donc de simples quadratures. Cela provient de ce que, les trièdres mobiles des deux courbes satisfaisant aux conditions du problème I (212), l'angle donné (v„ v) se rapporte au huitième cas de ce problème, qui n'exige aucune intégration.

218. Problème VIII. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème Fil, à l'exception de la troisième, Pan-gle de deux tangentes (ti, r) est donné en fonction de et, : déterminer les équations naturelles de la courbe C.

Ce problème, qui est le même que celui des développées obliques sous angle variable, a déjà été l'objet des recherches de plusieurs géomètres, qui sont parvenus à établir l'équation résolvante par une série d'évolutions analytiques ingénieuses. Dans notre théorème, l'équation résolvante est intuitive, et tous les éléments de la courbe cherchée sont mis en évidence par les relations les plus simples.

Soit $ l'Intégrale de l'équation (i) dun''211, correspondant à la valeur de (Tt,T), donnée en fonction de et, et que nous représentons par a; si l'on adopte pour les autres données les notations du problème précédent, on aura (210), par suite des équations (y), les deux relations

de == rfsi cos$ — d(Xy e = — a -4- /rfe, cos<ï>,

I l . ^6, sin$ /•r/e, sin*

sina J sina

et, en faisant usage des équations (dst), les deux autres re-

fïfS TRAJBCTOIRKS DKS TANGRNTES U*0NB GOflKfIE. 355

laitons

tOt sina

COS* 7-

cTiSina /. .

— z=i J fS\ cosaati.

cos$ — -T-

Les équations (i) et la deuxième des équations (i) donnent les équations élémentaires dç la courbe C.

On trouve, sans difficulté, les rayons de courbure et de flexion donnés par les formules

rfL (3) \L pisma piSinaa£,

— = sin* ( cosa 7- )

Pi \ Pi dti J

Si la courbe donnée C, était connue par ses coordonnées cartésiennes, on aurait immédiatement les équations de la courbe C. En effet, par suite des équations (|3) duo**2i0, on a

cos(t, T,) =cosa, cos(t, p.) =-— cos^sina,

cos(r, V,) =— sin4>sina et, par suite,

cos (t, x) = cosa cos (t,, x)

— sinacos^cos (pi, x) — sina sin$ cos (vi, x] ;

donc les équations de la développée oblique seront

.. gy, sinoe fcosacos (ri,a:) — sinacos4^cos(pi,x)l ,,.

i\)x— ,— ^rfaL — sina sln* cos (vt,j:)J* ^ '

219. Problèmb IX. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème VII, au lieu de ( Vi, v) on donne ràngle (Pu '^) •prouver les équations élémentaires de la courbe C.

Il faut remplacer la troisième condition du problème VII