COST

, sin(3 rfp — cosfi langy f/y ^cos*4'" — cos*j3

Cela étantyles équations(y)du n*'210 donnent les deux relations

\ e=/cosY</e.-^arc[coi=^L____i^J

^^^ i rsinVcosV,

\ J cos(3

et les équations [dsi] les deux suivantes :

cosY[cosY+^arc(sin = ^]|

Tg, cos (3

cos¥[cos¥+^^arc (sin = ^^) J

^cos»4^ — cos'ô ^ cos Y

On connaît donc les équations élémentaires de la courbe C. Si la courbe Ci était donnée par les équations cartésiennes, on trouverait, comme précédemment, les équations cartésiennes de la courbe C.

220. Remarques^ — I. On résoudrait de la même manière les problèmes résultant des conditions posées dans le pro-

DBS TRAJBCTOIRKS D8S TAKQBNTES D'uNB GOOBBB. 357

blême VU, et dans lesquels la troisième équation serait remplacée par celle qui donnerait, en fonction de et« Tun des angles (vi, t), (ti, p), (po p)- On aurait une des équations résolvantes données dans le n® 211; et» après son intégration, tous les calculs seraient ramenés, comme on vient de le voir, à de simples quadratures*

IL On se trouverait en présence d'équations résolvantes (212) par rapport à l'angle (Ti,r), si l'on se donnait les équations élémentaires de la courbe C et l'un des six angles de la seconde et de la troisième ligne du tableau A (211) en fonction de e, et qu'il fallût déterminer les équations élémentaires de la courbe Ci. Cela provient de l'identité des positions réciproques des trièdres des axes mobiles des courbes G et Ci, que nous avons démontrée au n"* 212; mais, après l'intégration de l'équation résolvante, il n'y aurait plus à effectuer que de simples quadratures pour déterminer les éléments de la courbe. Si l'on donnait un des deux autres angles du tableau (A), le problème ne dépendrait que de simples quadratures, comme nous l'avons démontré au n"" 217.

III. Dans les deux cas, si la courbe G était donnée par ses coordonnées cartésiennes, après l'intégration de l'équation résolvante, s'il y a lieu, les coordonnées de la courbe Ct s'obtiendront par de simples quadratures.

221. Problèmb X. — Étant données les équations élémentaires d'une courbe C, trouver les courbes tracées sur sa surface osculatrice, telles que l'angle de contingence géodésique de ces courbes soit donné.

Soitâftfi cet angle de contingence géodésique; les conditions du problème sont donc

/ \ ^* f . d(ù . . . dci . .

L'angle dct est égal à (/fiiCOs(vt, v); donc, par suite de la deuxième des équations (y) dix n? 210, on a, en n'écrivant que les caractéristiques des fondions,

( 2 ) dg-h da = nide, e -+- « = y tti rfc ;

358 LIVRB I. — SBCTIOH V. — CUAriTBB XV.

on déduii des équations (y) les deux suivantes :

«ot?-4;sin(/7r.rf6-er

rfeî = [ttî 4- ^y sin» [i—fr., de )] de ;

ces deux équations Tont connaître 9 l'angle du plan osculateur de Ct avec le plan tangent et l'angle de contingence de C». La dernière des équations (y) du n*" 210 donne

lrf«, = d;cos(e— /7rirfc)rfe-4-rfarc cot= , . , ,. ' , ; h

Les équations [ds^] donnent la relation

3 rfL . ds

\ -5 cotaL-+- --Ï- =0,

: ae ae

et conséquemment

-. — h Lcot(e — /TTirfe) -h cj = o,

qui est une équation différentielle linéaire; son Intégrale est

(5) L = e-/'^"'(*-J"*i''») [L, — /cyrfe e/*~«('-/^«'»];

conséquemment» on a

dt siii [fr,x dt — e)

/de. é;-/*<^' (*-/«!*'»; siii {— € -hjv.xde) ^ *^ •"

Les relations (3), (4) et (6) donnent les équations élémentaires de la courbe C|.

Le problème s'achève comme au n"" 216.

222. Problème XL •— Faire passer par une courbe Ci, connue par ses équations naturelles ^ une surface développahle telle qu'après son développement sur le plan tangent la courbe C, se transforme en une courbe donnée d.

DBS TRAJBCTOiRIB DBS TA1I«B1ITB8 d'uNB COURBE. 35g

Soient les équations de la courbe Ci et C«

(.) ^ = ..(.). '£=^'Ae,); |;=/'(e.); on a la relation

et conséquemment» les éléments ds et dsi étant égaux, on a

l'équation

©',(€,)rfe, =/'(«,) rftf,

et» par une détermination convenable de la constante d'intégration»

(3) TiT.(eO=/(^0;

de cette équation on tirera et en fonction de ei. Soit tt celte fonction ; on a donc

(4) e, =7r(e,); l'équation (2) donnera

(2)' cos9 = 7r'{e,).

La dernière des équations (y) donne» après l'élimination de (») et en ayant égard aux relations précédentes»

les deux autres équations (y) du n^ 210 fourniront leâ deux équations

sin arc cot =-—■ ^ '^ .. + L-i^

et, en remontant aux équations {ds,), on trouve les deux re-

36o ÙVRB I. — SECTION T. — GDAPITRK XV.

laiions suivantes, en n'écrivant que les caractéristiques des fonctions :

m\ sin arc ( cot= ■ ^ H ]

(tI < Tr'—.-T-arc/ cot=-p=î== -t- ;- )

= iCTirfciCosarcl cot = ,-Ji— h ^^— ;r V

Les équations (6) et (7) donnent les équations naturelles de l'arête de rebroussement de la surface cherchée, et Ton voit comme précédemment que, si la courbe C, est donnée par ses coordonnées cartésiennes, on connaîtra aussi les coordonnées cartésiennes de la courbe C«

Les équations précédentes peuvent être mises sous une autre forme. En effet, d'après les équations (4) et (5), et est une fonction de a; soit donc F(a) et <^'(a) le résultat de la substitution de e. dans /(e,) et dans/' («i). La deuxième des équations (y) du n® 210 donne la relation

donc la première des équations {d$C\ prend la forme

-V^sîna , «ei

dei

et, conséquemment, on a

. ^'[cx.)r[a)s\ïia F(a) -$'■(«) '

et la seconde équation [dsx] du n^ 210 devient