f- L = /w, dii cos ( arc col = J
36a LITRB i. — SBCTIOH ▼. — CHAPITBK XV.
que Ton peut aussi écrire sous la forme suiTante :
= — fD,(e,)sinajj^.
« + L =/©', rfe, cosa;
il D'y a donc qu'à exprimer, dans ces formules, Ci en fonc lion de a» au moyen de la troisième des équations (5}\
Les équations (6)% (7)' et (8)' sont donc les équations élémentaires de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante < Le problème s'achève comme les précédents.
§ III. — NOUTBLLES GOlfDlTIOllS.
Dans ce paragraphe» on suppose que l'une des équations du problème est celle de la surface sur laquelle se trouve la courbe cherchée; cette circonstance, sauf quelques cas particuliers, complique le problème que nous allons résoudre dans le cas le plus général.
22&. Problèhb XUL — Étant donnée une courbe Cx^ faire passer par cette courbe une suif ace déyeloppable dont l'arête de rebroussement soit située sur une surface donnée»
Soit donnée la courbe Ci par ses coordonnées cartésiennes exprimées en fonction de ei, et la surface par son équation
les équations du problème sont, avec l'équation (i), les équations
,^ . dx dr dz ^
<r — j7, y — y\ z — zt
X étant une indéterminée.
Puisque la courbe C doit être située sur la surface L, ses coordonnées et toutes leurs dérivées doivent satisfaire à l'équation (1), de sorte que, si, pourabréger, on pose les équations
DES TRAJBGTOIIIBS DBS TANGBHTIS d'uNB COURBK. 363
symboliques
on obtiendra, par les différenUations successives de l'équation (i) et par l'élimination des différentielles dx^ dy, dz au moyen des relations (X), à mesure que ces différentielles se produisent» les trois équations suivantes :
(2) AL = o,
(3) X(A»L-f.AL)-A.L = o,
,,, ( ^ (Aa-hAL)4.X'(A>L + 3A»L-f-AL)
(4) { aei
( - l (3 ALAi L -4- A. L) — A, L = o,
ces trois équations contiennent les inconnues Xy y, z, X, y
et la variable indépendante d. Si Ton prend les valeurs des coordonnées x^ /, z fournies par ces équations, on aura
fyf\yft étant des fonctions déterminées. On portera ces valeurs de Xy^y^z dans l'équalion (i), et l'on obtiendra une
généralement d'un degré supérieur au premier. Soit
cette équation résolvante. Son intégration fera connaître X en fonction de d, et, en portant les valeurs de X et de sa dérivée dans les équations (5), on aura les coordonnées x^ y^ z de la courbe cherchée en fonction de la variable indépendante ei. Dans certains cas particuliers ce calcul, qui présente des
364 LIVRE 1. — SKCTION V. — CUAFITRB XV.
complications malgré sa symétrie, peut être sImpliQée» et l'on arrive d'emblée à l'équation résolvante.
225. Problèhb XIV. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème précédent^ la surface L est une sphère .* déterminer la courbe C.
Les équations de la sphère sont
(L) x^-^y^-^z'zrztK
Considérons deux points correspondants des deux courbes C et d; si de l'origine des coordonnées on mène deox rayons vecteurs à ces deux points, l'un est ^ rayon de la sphère, et l'autre /i, dont le carré égale la somme des carrés des coordonnées ;r„/,, 2,. Or ces deux droites, qui ont un mouvement régulier, donnent naissance à deux trièdres mobiles : l'un ayant pour arêtes les directions 0^ Or, On, et l'autre ayant pour arêtes 0^1» Or,, O/ii; et l'on voit que l'arête 0/i reste constamment dans Je plan /Or; par conséquent, ces deux trièdres satisfont aux conditions des problèmes I et II (211 et 212); donc toutes les équations résolvantes données dans ces numéros auront lieu pour ces deux trièdres : il n'y aura qu'à remplacer les lettres t, p, v, t,, pi, Vi par les lettres /, r, n, /,, r,, n,. Dans le cas du problème posé, l'angle (/> 'i) est connu, puisque l'équation AL devient
X X, r ,y\ z Zx t
T 7^ '^ T Ti 777"^1]
Le second membre --- représente le cosinus des deux direc-
tions (/, tx)f et son numérateur est le rayon de la sphère, son dénominateur est la distance /, connue en fonction de d ; l'équation résolvante sera donc l'équation (i) du n^^SlS, que nous transcrivons :
dlnx^n) t . , , d(ùi
—S — - + -=== sin (n,, n — -5- = o; tfe, ^t\ — l^ «El •
l'intégration de cette équation fera connaître (ni, n) en fonction de £i. SoitO cette fonction; on a donc le tableau suivant.
DBH TBAJECTOIRKS DR8 TANGCirTB» 1)*UNB COIIRBK. 365
qui résulte des équations (P) du n^ 210 :
cos(/„ /)= —ï cos(/i„/)= — ^--î- sln<ï>,
cos(r„/) = — ^ 'J" cos^; or on a de plus
cos (/,Jc) = cos(/„ /)cos(/,, j:) -hcos(/i,, ^)cos(/i„ x)
H-cos(r„ /)cos (r„a?); on aura donc
--=:-cos(t„j:) [s!n^cos(/i„a:)-4-cos$cos(r„j;)], (3)
qui donnent les coordonnées x, y\ z de la courbe C en fonction de et* c. Q. F. D.
Corollaire. — Si la surface donnée est un ellipsoïde donné
par réquation
on posera
et Ton sera ramené au problème précédent. On peut aussi traiter directement ce problème comme nous venons de le faire pour la sphère.
236. Pboblèhb XV. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème XIII ^ la surface L est un cylindre cir-c^laire : déterminer la courbe G*
Soit l'équation du cylindre
t étant une constante.
On a f et /. les projections sur le plan des xy des rayons vecteurs menés de l'origine des coordonnées à deux points correspondants. Si Ton applique la méthode à ces deux rayons, comme au numéro précédent, comme ils sont situés dans un
366 LIYRB I. — SBCTION V. — CHAPITRE XY.
même plan, le nombre des équations (a) se réduit à quatre
/ de-h-dt^.t
cos(/„r) = -> cos(/„r)= t/ï— p
desquelles on déduit
dei = de + d(tt,t)f ei = e-i-arc (cos=:---V
lesquelles donnent directement les coordonnées de la projection du point de l'arête
47z=/cos ((«, — arc cos= ^ ]i 7-= /sin (e, — arccos j»
qui sont d'ailleurs évidentes géométriquement.
Or on a les conditions suivantes pour un point quelconque de l'arête :
d.T dy dz Xi dx -h y, dy
X — Xi ~'x — ji ~" 3 — 2, ~" XX, -Hjj, — x] —y^i '
remplaçant dans le dernier rapport Xi^ /, par leurs valeurs
Xt = ti cose,, y^=z ti siné»i,
et X, y et leurs différentielles par leurs valeurs tirées des relations précédentes, on aura l'équation résolvante en z,
dz _____ t idU -^ tx{>lt\^ n)dex^ z — Zi ~~" Ï7 r-^l] '
or, puisque la courbe Ci est donnée, Zt, ti et ei sont des fonctions de la variable indépendante; l'équation précédente est une équation linéaire du premier ordre en z, qui donnera cette coordonnée par de simples quadratures.
On a donc, en représentant par ^ cette intégrale, les coordonnées de l'arête :
x=2 Y cose, -f- 1
r — — sin e, — n i/ I — -- j cosc,, z = %>.
BBS TRAJECTOIRES BBS TAlVGENTBS b'oKE COURBE. 867
Corollaire /. — Si le cylindre donné est elliptique et re«> présenté par Téquation
posera •— = a;', y =/, et l'on retombera dans le cas pré-
on
cèdent.
Corollaire IL — Si la surface donnée est un cône elliptique donné par Téquation
on posera
Xc Y£
et Ton sera ramené au cas précédent.
368 LIYRR I. — SRCTIOlf V. — CHAPITIIK XTI.
