CHAPITRE XVI

RECHERCHE DES COURBES JOUISSANT D'UTÏE MÊME PROPRIÉTâ.

État de la question. — Lorsqu'une courbe est donnée de forme, elle dépend de ses deux équations naturelles, de sorte que deux propriétés géométriques déterminent cette forme. Si une seule propriété est donnée, il y aura une infinité de courbes jouissant de cette propriété, et les intégrales de ces courbes renfermeront une fonction arbitraire, dont les différentes formes feront connaître toutes les courbes qui ont la propriété donnée. Cest cette recherche importante qui va être l'objet de ce Chapitre.

§ L — Intégrales des courbes qui ont leurs normales

PRINCIPALES parallèles.

227. Problème I. — Étant donnée une courbe C, trouver toutes les courbes ayant leurs normales principales parallèles.

Nous avons déjà vu : i** qu'une courbe C et l'arête de rebroussèment de sa surface polaire ont leurs normales principales parallèles; 2? qu'il en est de même d'une courbe G et de l'arête de rebroussement de la surface développable, enveloppe d'un plan passant par la normale principale et formant un angle constant, d'ailleurs quelconque avec la tangente (195 et suivants). Nous connaissons donc différentes séries de courbes satisfaisant aux conditions du problème. Dans le cas présent, il s'agit de déterminer toutes les courbes qui satisfont à ces conditions. Nous conservons, pour la courbe donnée C et l'une des courbes cherchées C„ les notations employées dans le Chapitre précédent.

BBGHRRCnB DBS COURBRS JOUISSANT D'«NB M^MB PROPRIÉTÉ. 36g

Relations angulaires. — Si l'on représente par a l*ângle que la tangente r. de la courbe cherchée fait avec la tangente r de la courbe donnée, on a les conditions suivantes qui sont évidentes (1S5):

Icos (ti, t) = cosa, cos (ti, v) = sina, cos (r,, p) = o, cos (p„ t) = o, cos (p,, v) = o, cos (p„ p) = I '

cos (vi, t) = — sina; cos (v„ v) = cosa; cos (v„ p) = o.

Si Ton applique le théorème des courbures inclinées aux troisièmes équations de la première et de la dernière ligne, on trouve immédiatement les relations

idtx=dt cosa -+-rfa) sina, rfû), = — ^fesina -+- rfw cosa, dz =//eiCOsa — {2a),sina, rfw = dix sina-f-rfw, cosa;

on voit que les secondes sont une conséquence des premières; on en déduit la relation

rfgj -f- d(ù\ = de^ -+- d(ùK

Ces équations prouvent que, lorsque les angles de contingence et de flexion de la courbe C seront donnés, on aura les angles de contingence et de flexion de la courbe cherchée.

228. Théorèmes. — Le même théorème des courbures inclinées, étant appliqué a la différentialîon des équations première et deuxième de la première ligne, donne

dcosa = dèi cos(pi, t) h- dt cos (p, t»), rfsina= rfÊjCOs(pi, v) + rfû)COs(p, Ti);

or, les seconds membres étant nuls par suite de la valeur nulle des cosinus, on a les équations

rfcosa=:o, rfsina=:o,

qui donnent par intégration, À et B étant deux constantes,

cosa = A, sina=:B.

On déduit de là ce théorème :