I. Si deux courbes C et C, ont leurs normales principales
370 LIVKB I. — BBCriOM V. — CMAPITBI XTI.
paralièleSf les an^es que les tangentes t» Ti et les nomuxles y, Vf de ces courbes forment entre elles sont constants^
Dans les recherches du n* 195, nous avions trouvé le théorème réciproque, savoir que si ces deux angles (ryt. ), ,v, v. } étaienl constants, les normales principales étaient parallèles.
Si l'on appelle H et Hi les angles que les droites rectiOantes 17, liJi des deux courbes C et Ci forment avec les tangentes correspondantes t, Ti, les relations ((3) donnent immédiatement
la relation
laquelle donne le théorème suivant :
II. Si deux courbes C et C, ont leurs normales principales parallèles,' les angles H ^/ H| des droites rectifiantes avec les tangentes correspondantes ne diffèrent que d'une quantité constante.
Si Ton intègre les équations (P), on a, par une détermination convenable des constantes, les relations
( e,= e cosa + 0) sina, toi = — esina + (>> cosa,
( e = etCOSa — coiSina, g) = £iSina + &),cosa.
On a donc cette nouvelle proposition :
III. Si deux courbes C et Ci ont leurs normales principales parallèles et qu'on prenne les sommes e, a»; Si, g)i des angles de contingence et de flexion de ces deux courbes, chacune des deux premières est une fonction linéaire des deux autres.
Enfin, si Ton divise la première des équations (|3j par la seconde, et la troisième par la quatrième, et qu'on introduise les ravons de courbure et de flexion, onaura les relations suivantes:
- , vi vcosa -+- psina t «.icosa — pisina ^' ' p, pcosa — vsin« p visma + ptcosa
On en déduit la proposition :
IV. Le rapport des rayons de courbure et de flexion de l'une des deux courbes est une fraction linéaire et homogène des rayions de courbure et de flexion de l'autre courbe.
RBGlIBRCnB DEC COURBES JOUISSANT D^UNR MIMB PROPRIÉTÉ. 37 1
239* Relations linéaires. — Soieni x^jr, z; Xx^ ^i» Zx les coordonnées des courbes C et Cm si Ton représente par t^, n,, Ti des fonctions arbitraires de la variable indépendante^ la forme la plus générale des équations de la co^jrbe C| sera
(^,) Xy — x-=: tx cos (t,, x) -+- /Il cos (v,, x) -h r, cos (pi, x); (3)
si l'on différentie ces équations et qu'on élimine les variations des cosinus, au moyen des formules du n** 54, on tombera sur une relation qui, devant être satisfaite, quels que soient les cosinus des angles (Ti,:r], (vi,^), (pi»^), donnera, par iden* tification, les trois formules suivantes :
Irf*, = ds cos a H- dtx — r, rfe„ o = £{s sin a — rf/i, -h n rfwi, o = rfr, -h tx dst H- «1 dwf
Il y a dans ces équations quatre inconnues ; il faudra donc se donner l'une de ces quatre inconnues; ce sera ou bien dst, ou bien l'une des trois arbitraires /i, ni, n. La courbe C étant donnée, on a les équations élémentaires en fonction de la variable indépendante, c'est-à-dire ds, cfo), ^e, en fonction de cette variable; or, si l'on se donnait dst^ cela reviendrait à se donner aussi la courbe Ci, puisque les équations (^) donne* raient rfa>i eide en fonction de la variable indépendante; et la courbe Cl serait déterminée par les équations élémentaires. 11 faut donc se donner Tune des arbitraires (^i par ex.), ce qui revient à traiter la question comme si /, était une fonction donnée de la variable indépendante. On obtiendra alors des foi^ mules qui contiendront cette fonction arbitraire, et qui, par cela même, auront toute la généralité possible.
Si l'on se donnait deux arbitraires, on établirait par cela même une relation entre les éléments de la courbe donnée qui ne serait plus quelconque.
230. n, est pris pour arbitraire, — Les équations (rf*,) donnent
cf/ii , de ^ dcùx d /dnx . de\
r, = -5 psina-y--, f, =— /i, -^ -^l- psina-,- h
aou *^ arùi dix aei\aw, ^ d(ùj
372 UVIIB'4. — SECTION ▼. — CHAPITBK XVI.
on obtient les rayons de courbure et de flexion, en portant ces valeurs dans la première des équations (dst):
p. = pcos«^-3^^n.^j~^3^-ps.n«j^j
de] \rfwi ^ rfwi/
det
t/i = pt
d(>)i On déduit l'intégrale de Téquation différentielle suivante :
dsi = ds cosa^ d{ n, -r^ ] — -7-^ rfe, -4- -r-^slnarfe,
— — (^^ EL ' \ dex \ûf&), </û), /
rfû), 'Cl^n^ ds , \ ,
*, — < coSa -h H, -T h f I -; j — sin a ] ae,
aci J \a(ùt a«i y
rf /rfn, rf* \
-f- -r- ( -; -j — sina 1 =0.
aet \aa), ao>)i /
Les premières équations (|3.] et celte dernière donnent les équations élémentaires de la courbe.
Les coordonnées cartésiennes de la courbe sont
[rfw, d (drii deY\ , ,
, , /rfn, . de\ , , ^*^ ^
-+-/i,cos(v„ar)4- ( T psina j— | cos(p„:c),
avec les conditions
Icos(ti, x) = rosacos(T,:r) -4- sinacos(v; x)^ cos(vi,:»;) =— sinacos(T, x) -f- sinacos(v, x)^ cos (pi, x) = cos (p, x).
On voit que ces formules ne dépendent que de différentialions, et que, Hi pouvant prendre toutes les formes possibles^ le nombre des courbes C, est illimité.
RKGDBRCHB DBS G0URBB8 JOUISSANT D*U1IB M^IB PROPRlÊTt. i'jZ
Cas particuliers. — i« Soil n, nul [fig. 36); les formules précédentes deviennent
rfe d(à . d' / dt\
("=Pd^,d^,-*-^''''d^[c7ûr,r
la courbe C, est l'arête de rebroussement de l'enveloppe du plan qui coupe la courbe C sous un angle a constant, et qui
Fig. 36.
passe par le rayon de courbure p. C'est le cas que nous avons traité au n"» 196.
2'' Si /Il est constant, on a les relations
de . rfû), . d / de\
de d /</o),\ . r de d* f de\-\
La courbe Ci est l'arête de rebroussement de l'enveloppe d'un plan passant par une parallèle à la normale principale» menée à une distance constante du plan osculateur par un point de la binormale, et formant avec elle un angle constant.
