est arbitrais e, — On déduit des équations [dsi) les
374 LIYKS I. — SECTION T. -^ GHAPlTRB KTI.
suivantes :
drit , ds
-j r, = sina -3 — >
atùi a&i>i
■T h /li = — «I -: — •
06)1 aa)|
Si Ton diflerentie la seconde et qu'on retranche la première de l'équation résultante» on trouve l'équation résolvante
rfV, d(ù
donc les intégrales des équations précédentes sont, en représentant par a, b des constantes arbitraires,
r, =asinGi)( + frcoso)! — sîna>iy(/i JeiSina)i +sinacosa>|ii!9} — cosa)iy(/|rfeiCOS(â), — sinasin(k>i(/f)»
ni = — acoscûi •+ frsin&)i + cosa)iJ'(/i(f6,sina)i + sinacossi>id!f] — - sin6>i/(/irfei cosw, — sinasinuii/^].
On déduit, de ces expressions, les rayons de courbure et de
flexion
de dtx .
Px=:û cosa -5 — h -3 a sin&)i — o cos6>i
^ ^ dti dti
+ sin&)i/(/i dzx sino), + sina coso). ds)
+ cosa>i/(/i dtx costùi — sinasinui d$]^
dix
Cette question est donc du ressort du Calcul intégral, et dépend d'une équation résolvante linéaire du second ordre à coefficients constants.
Cas particuliers^ — i*» /, = o. Ce cas répond a la recherche des trajectoires orthogonales des positions du plan Ovipi, ou, en d'autres termes, à la recherche des courbes telles que leur surface polaire soit l'enveloppe Ov.pi; on trouve alors
dn dux . ds
-7- -I- n, = o, --j r, = sina . »
d(ù dttix a<ùt
BBGHEBGHB DBS GOUBBBS JOUISSAlIT d'uHB MÊMB PROPBIÉTÉ. 37$
avec les intégrales
Ti =: a sin&>i + 6 cosa)i
— sina (sinwi/coswi ds — cosa)i/sina)i ds),
/Il = — - « cosû>i H- b sin 6>i
+ s\na{costùi f costùi ds -h slntùi f sintût ds), *
p,= p j- cosa — asln6>i — 6cos&)i
«El
-4- sina(slnci)i/cos6)i ds — C0S6)i/sina)i d*).
233. r, ef/ arbitraire. — Dans cette hypothèse, la question est mixte et dépend à la fois du Calcul différentiel et du Calcul intégral. On déduit des équations [dsi) les deux relations suivantes :
ni = 5 sin a + fn dtùi,
on en déduit la valeur de -7-^9
dti
dsx de f d^r\ d l rfwi , rf«i /. . \
ainsi que les coordonnées d'un point quelconque de la courbe. Cas particuliers. — Si r est nul, on a les formules
dtùx , nt = «sina. «1= — *-t — sina.
atx
dt . d ( d(ùi \
cette dernière étant intégrée donne la relation, c étant une
constante,
dùii «i— JC0sa-+-5Sina-î — =c,
et conséquemment, en portant dans cette dernière la valeur
de ^-^» tirée de la seconde, on a la relation linéaire
Si — «cosa — ti — C=: O.
376 LIVRE I. ^ SBGTION V. — CHAPITHIS XVI.
§ II. — COURBBS DONT LES TRIÈDRE» MOMLES SONT BÉGIPROQUBS*
233. Définition. — Si deux courbes C, C, soni telles que, en deux points correspondants, la tangente de Tune soit parai* lèle à la bînormale de l'autre» et réciproquement, et que les normales principales soient parallèles, ces courbes ont leurs trièdres mobiles réciproques.
Il est évident que la condition nécessaire et suffisante pour que deux courbes jouissent de celte propriété est que la tangente de l'une soit parallèle à la bînormale de l'autre (51).
Problème II. — Déterminer la forme générale des courbes jouissant de cette sorte de réciprocité.
Il est évident qu'il suffit de poser, dans les équations [a] du
n« 227 et [dsx] du n*» 229, a = - ; ces dernières équations deviennent
l dsi = dtx — r^dti^
[dsi y < ds = dnt — r, rfwi,
( o = rfri H- f, rfe, -+- /i|rfoj|.
Si l'on prend Hi pour fonction arbitraire, on trouve, soit par
un calcul direct, soit en faisant a = - dans les premières for-
mules du n° 230,
/ rf/i, ds ^ d(ùi d fdni ds \
I ' r/w, d(ùi ' ^ dzi dix \d(ùi d(ùi/
dsx d ( rfwA d^ (dnt ds \ ( dnx d sX
dix dzi\ ^ dii) di\ \d(ùx dtùxj \rfwi dtùx)
Les coordonnées cartésiennes de la courbe Ci sont donc, en ayant égard aux équations (t„) du n** 230,
(r rfwi d fdnx ds \'^ , . » ^' - * = - L"' rfT + de, te - d^jr^ ("' ^^1
-n.COS(T,^)+^^-;;^jCOS(p,^).
RBCBBBGIIS DX8 GOUMKS JOUISSAUT 1>*UIIB MfiAB PROPRIÉTÉ. 877
La rectiQcation de la courbe est donnée par l'intégrale de la troisième des équations (i),
— — ff^ — ( ^^^ ^ J!L.\ ClÈ!l^ÉL\éi
Le cas le plus simple est celui où /ii est nul : on se donne alors une courbe C; et la courbe Ci est le lieu des centres des sphères oscillatrices à la courbe C (110).
Si Ton prend pour fonction arbitraire /i et que Ton ait égard aux conditions (P]i du n® 228, on trouve, pour r. et iii (231), les valeurs suivantes :
Ti = — asine+ 6cos£i — sine/(fi sinee/o) — cosee/s) •
— cos€/(^ co^id(ù -h sxïïzds]^
niz= — acose— 6sine — cose/(^, sinerfw — cosed*)
•4- sine/(/iCOserfû)-f- s\rïtds).
Coordonnées cartésiennes, -^ Posons, pour abréger,
R=/(/, sinerfw — cosedis), R,=:/{/, coserfw -*- sineds);
si Ton fait a = - dans les formules (ti,) du n"230, les coordonnées cartésiennes sont
[ j:, — x=: — (a + R)[sinecos(p, a:) — cosecos(T, ^)] J (2)' \ -f-(é — Ri)[cosecbs(p,a?)-+- sinecos(T,:c)] > (3)
\ -»- ^cos(v, a?), )
et si, dans ces équations, on suppose /i nul, on aura, comme cas particulier, les intégrales des courbes qui ont pour lieu des centres des sphères osculatrices la courbe C.
Si, enfin, on suppose r, arbitraire, on aura, en ayant égard aux conditions (j3) du n"" 227, les équations suivantes (232) :
Hi r=s — frt de, et conséquemment
— =- ir-^—\ ^^{s-'-- — frde\' db\ \ dtù^ j d(ù\ d(s} rfo) "^ ' /
378 LIVKB I. — SBGTION V. — CHÂPITftB XTI.
de là résulte que les équations cartésiennes des courbes C, sont
{ — (5 — /r, de) cos (t, x) + r, cos (p, x). )
Le cas le plus simple est celui où r, est nul, et l'on trouve
Quoique les formules (a), (2)% (2)'' aient des formes différentes, elles représentent pourtant les mêmes catégories de courbes, de sorte que chacune d'elles donne Tensemble des courbes dont les trîèdres mobiles sont réciproques du trièdre mobile de la courbe donnée.
§ III. — DbS COUBBES qui ont HÊHB NOtfHALB PRINCIPALB.
SSi-. Problème III. — Étant donnée une courbe C, trouver toutes les courbes Ci qui ont même normale principale que la courbe donnée.
II est évident que cette question entre comme cas particullei' dans celle que nous avohs résolue au n* 227; mais il y a là une condition de plus, consistant en ce que les normales principales des deux courbes C et Ci, au lieu d'être simplement parallèles, doivent être en coïncidence; il faudra donc, pour avoir égard à cette nouvelle condition, poser dans les équations (dsi) du n** 229 ti et /ii nuls; alors ces équations deviennent
Idsi = ds cos a — r» rfe„ o =r— ds sina — ndoii, o = rfr,.
Celte dernière équation prouve que la fonction arbitraire r, est une constante a. Nous tirons de là la proposition suivante :
1^ Si deux courbes C et Ci ont leurs normales principales
RECOBRCHB DBS COOtnS JOUISSAlfT d'uNB MÈHB PROPRifiTfi. S'jg
identiques^ la distance de deux points correspondants est conséante quels que soient ces deux points.
Les deux premières équations donnent les deux suivantes :
(a) dSiS\na='- adoi, disîna = -— arfwi,
desquelles on déduit les deux relations
, ., I sina dsi i sina ds
(aV ~= -7-1 -= -r-,
^ ' V a as vi a asi
et de celles-ci les deux nouvelles, dont la première est due à M. Hannheim,
, ,- I sin'a V ds^
Wi a* V| ds]
et qui équivalent aux équations (2]. On en déduit la proposition :
2® Si deux courbes C et Ci ont mêmes normales principales^ le produit des rayons de deuxième courbure est constant, et leur rapport est le même que le carré du rapport des éléments correspondants des deux arcs*
Si Ton a égard aux relations (^) du n** 227, les formules (2) donnent les deux équations
!dsi sina + a dei sin a + a dcûi cosa := o, dstSiïKx — a de sina 4-arfû> cosa=o,
et conséquemment les deux suivantes :
sina sina cosa
a pi tt
li)
^ ' * sina sina cosa
On a donc cette proposition :
3** Les courbes qui ont leurs normales principales identi^ ques ne sont pas quelconques^ mais appartiennent à une classe distincte caractérisée par cette définition^ que, si Von fait la somme des courbures première et deuxième de l'une quelconque des courbes, après avoir multiplié ces courbures par des constantes, cette somme est aussi constante.
33o LIVRE l< ~ &SGTIOM V. — CRAPITRB IVI.
Cette proposition importante est due à M. Bertrand, qui a, le premier, traité la question qui nous occupe. Cette proposition donne l'une des deux équations élémentaires de ces courbes.
Relations nouvelles. — Un point qui n*est pas sans intérêt consiste à exprimer les rayons de courbure et de flexion de Tune des courbes en fonction des rayons de courbure et de flexion de l'autre. Cette question s*est présentée au même auteur, qui a posé deux relations au moyen desquelles on pouvait la résoudre; n;iais ces relations sont trop compliquées pour que l'élimination soit facile. Dans notre théorie» la question se résout immédiatement. Il suffit d'éliminer' v et t-. entre les équations (4) et la première des équations (2]". On trouve ainsi les deux équations suivantes :
I cos'a sin'a i cos*a sin'a
pi p — a a p pi-f-a a
'il sinaa/ i i\ i sinaa/ i i\
qui répondent à la question et qui sont d'une grande simplicité ; et Ton a cette nouvelle proposition :
4" Deux courbes C et Ci ayant mêmes normales principales, sif en deux points correspondants ^ on suppose que l'angle d 'inclinaison a des tangentes des deux courbes est connu et que l'on prenne y sur un des deux côtés, une longueur égale à la racine carrée de (p — a) et y sur sa perpendiculaire au sommet,
une longueur égale à sfây et que Von construise une conique sur ces deux longueurs, l'autre côté de l'angle interceptera sur cette courbe une longueur égale à pi.
Si Ton veut avoir une relation entre les rayons de courbure et de flexion des deux courbes indépendante de l'angle a de l'inclinaison réciproque des tangentes aux courbes en des points correspondants, il suffîra d'éliminer a entre les deux dernières équations (5), et l'on aura la relation
Pi p a
BBGHERCHB DBS €OURBBS JOUISSANT u'UNB MÊIIB PROPRIÉTÉ. 38l
Les formules (5) n'ont pas encore été données par les géon)ètres; elles se prêtent facilement à la discussion.
Discussion des formules, — Supposons que, la constante a, qui mesure la distance de deux points correspondants » restant la même, on donne toutes les valeurs possibles à Tangle a qui mesure Tinclinaison réciproque des tangentes en deux points correspondants :
1** Si l'angle a est nul, la première équation [i] prouve que d(ù est aussi nul et que, par conséquent, la courbe C est plane, et la deuxième équation (2) montre que la courbe correspondante Cl est aussi plane. Les équations (5) donnent pi égal à p — a. On a donc des courbes planes C et leurs courbes parallèles Ci.
i"" Si l'angle a est droit» les équations (5) donnent p égal à a^ pi égal a — a; la première équation (2]'' donne
tvi = a};
donc les courbes C et Ci sont des courbes dont les rayons de courbure sont constants et de direction inverse; elles sont 'donc réciproques en ce sens que Tune quelconque des deux est le lieu des centres de courbure de l'autre, et le rayon commun de courbure est une moyenne proportionnelle entre les deux rayons de flexion.
3<* Si l'angle a égale j^ les formules (4) donnent
Cette équation prouve que, si M et Mi sont deux points correspondants, 0 et Oi les centres de courbure en ces points, les points M| et Oi sont conjugués harmoniques des points M et 0; on a donc cette proposition : Lorsque l'angle d'incli^ naison des tangentes en des points correspondants est un demi-angle droite les points correspondants et les centres de courbure déterminent sur la normale principale une division harmonique.
38a UVRK I. — SECTION V. — CHaPITBI XVI.
§ IV. — Des courbes parallèles.
235. Définition. — Dans le cas le plus général, deux courbes sont parallèles lorsque les tangenies, en deux points correspondants, sont parallèles.
Problèxe IV. — Trouver les intégrales des courbes parallèles d'une courbe donnée.
Si dans les formules [ds^) du n*" 229 on suppose nul l'angle a des tangentes en deux points correspondants des courbes C et Cl» par suite du parallélisme des tangentes» on peut supprimer les indices inférieurs dans les seconds membres» et ces formules deviennent
dSi — ds=: dt — rdt, o = rf/i — rdtùf o = rfr -4- tde 4- nd(ù.
i** Si / est pris pour fonction arbitraire de l'angle u, on déduit les formules suivantes :
dn d(ô
dr d(ù
de
dSi
ds
dt
dn
de
"dl^
"de
dcù'
les deux premières s'intègrent immédiatement et donnent
n = asino) 4- 6 coso) — sincaftcostùde •+- cos(û ft sinon de^ r= acoso) — frsino) — costof t cos(»i de — sina>y*/sin(îi de,
et» par suite» la dernière donne le rayon de courbure
dsi ds dt , .
-r -r- = -y- *— acoso) 4-osmû)
de de de
