LIVRB I. — SECTION T. — CHAPITRE XVI

points correspondants de C et de C. se trouvent dans le plan rectifiant de C.

3"* Si n est nul, r et ^ sont aussi nuls, et les deux courbes C et Cl coïncident.

§ y. — Intégrales des courbes dont les axes mobiles sont

CONJUGUÉS avec LES AXES MOBILES d'uNB COURBE DONNÉE o' APRÈS DIVERSES LOIS.

236. Courbes conjuguées d*après la loi des développantes et des développées.

Problème Y. — Étant donnée l'une des deux courbes Ci ei C, telles que les axes' mobiles de la première sont y par rapport aux axes mobiles de la seconde^ dans les mêmes conditions que les axes mobiles d'une développante par rapport aux axes mobiles de la développée^ trouver la seconde courbe»

On trouvera, comme au n® 1&>3, les relations angulaires suivantes :

(i) sinH = -7-> cosH=— -7-> rfH = rfû),.

^ ' asi flÊ,

Or, si Ton pose

(a) Xi=x -^ ^cos(t„ x)-h niCOs(vt,x)-h r, cos(p„x), (3)

en opérant comme au n^ 229, et en ayant égard aux relations (a) du n"* 116, on obtient les relations linéaires suivantes :

dst = dti — r, de, 9

, o \ I o = -r- Jo) — rf/i, •+- r, rfw,,

(3) i rfe, .

o = -7— de — dri — /i rfei — nidcùt. aex

Si la courbe Ci est donnée et qu'on prenne tx pour fonction arbitraire, on déduira des deux dernières, par l'élimination (le dsy l'équation différentielle suivante :

fi^(niSinll) -h d{r, cosH) — /, dM=^o.

RBCHSRCnS DRS GOUMBS JOUISSAHT d'UNB HftHR PROPRIÉTÉ. 385

On a de plus

or» par intégration de la première, on obtient la relation

n, sinH + ( 3^ "~ P« ) cosH =//,rfa),

de sorte que ni et n sont connus en fonction de la variable indépendante; d'après cela, les équations (2) deviennent

~/,cos(t„^)— (-p — p, j cos(p,,^).

On voit que le nombre des courbes C, qui ont, par rapport à la courbe donnée Ci, les relations angulaires de la développée par rapport à sa développante, sont «n nombre inflni, et que Ton trouvera les intégrales de toutes ces courbes en donnant à la fonction arbitraire /i toutes les formes possibles. Le cas le plus simple est celui où cette fonction /« est nulle, et alors on retrouve les équations des développées

x=r Xi — Pi cotHcos(vi, ^] -h pi cos(p„ar), (3)

que nous avons déjà obtenues au n"* 145.

Si /i est constant, les équations ne différeront des précédentes que par Taddition des termes

' --/,cos(T„:r)-4- ^î^cos(v„ jt),

comme il est facile de s'en rendre compte.

237. Question inverse. — La question inverse consiste, lorsqu'on se donne la courbe C, à déterminer la courbe C,.

Dans les exemples précédemment traités, les questions inverses n'existaient pas, parce que les deux trièdres avaient l'un par rapport à l'autre les mêmes relations, lorsqu'on faisait l'inversion des trièdres; mais il n'en est pas ainsi dans la

386 ufiB I. -- sBcnoN ?. — «nÂPiTmi xti.

question posée au commencement du paragraphe. Ainsi, dans le cas présent, il s'agit de trouver toutes les courbes dont les axes mobiles ont, par rapport aux axes mobiles d'une courbe donnée, les relations de la développante par rapport à la développée.

La courbe C étant donnée, les deux dernières équations (3) prennent la forme suivante, lorsqu'on se donne l'arbitraire /i,

dnt „ rfe

-1 r, =— pcosH -j—j

rfr, , . H rfe , dtt

--z hii, = psinHT 'i j— î

aa>i aui aci>i

on peut prendre (Oi pour variable indépendante; on déduit des deux précédentes équations l'équation suivante :

ii(ù

'i d f . „ de .dtt\ n dt

de sorte que, si l'on représente par Bi et Ni les seconds membres des équations (3)', on trouve

r,==asîn6)i-+-6cos«i-+-sinw,/N|Sinwirfwi-f-cosw,J'N,cos(i)irf«,

— sina)iy*RiCOSa)|rf6)i+cos(k)iy*RiSino))|rfot)i

et, réductions faites,

Ti = asinui + 6cosa>,

-4- 5sina>i — sineoi^^ sin&)|rfei — coscdi^Vi cosa>i rfe,,

et conséquemment

ni = b sinui — a coscdi

— <cosa)i +cosa)./^sinuirfei — sin6)iy/iC0sa>i</ei.

Le rayon de courbure sera donné par la formule

( \ dt,

On passera, comme précédemment, aux coordonnées car^ tésiennesde la courbe et Ton retrouvera, sans difficulté, parmi

RBCHBRGHB BBS €0DRBB8 JOUISSANT D'CNB HtHB PROPRitTfi. ^87

les courbes intégrales» celles qui donnent les équations de la courbe C,.

Des courbes dont les trièdres mobiles sont conjugués d'après la même loi que les trièdres mobiles de la développante et de la développée oblique sous angle variable.

238. PROBLtHB YI. — Étant donnée l'une des courbes C„ C, telles que le trièdre mobile de la première soit conjugué avec le trièdre mobile de la seconde^ d'après la même loi qui lie entre eux les trièdres mobiles d'une développante et d'une développée obliques sous V angle a, trouver l'autre de ces deux courbes.

Les relations angulaires sont, d'après le n^ 210, en posant

{p„v)égalà A,

rfeî = rfe*H-sin*arfw% sinA = — t »

(cosA = — sina -7^ > d(ùi ^=dh -f- cosa rfw; dti

OT, si l'on pose

(i) Xi=X'+- ^cos(ti, j;)4-n, cos(vi, a;) -+- riCOs(pi, x), (3) on obtient les trois relations linéaires suivantes :

Idsi = ds cosa -h dtt — ri rfci, 0 = JjcosAsina -f-ûf/ii — r, rfwi, o = — J^ sin A sin a -t- rfr, + /, rfe, H- ni rfa>i.

Soit maintenant C la courbe donnée, s, &), e, a sont connus; prenons /i pour fonciion arbitraire, les deux dernières équations peuvent s'écrire sous cette forme

dn, ds , ,

•T ri = — T — cosAsma,

d(ùx acùt

* rfr, ds , . , dtt

-. h n, = -7— sin A sin a — /, j— ;

acùt dûii d(ùi ^

si l'on intègre ces équations après avoir représenté, comme

388 LITRR f. ~ 8RCTI0N V. — CHAPITRB XVI.

au n** 237, les seconds membres par Rs et Ni, od trouve

r, r=flsin&),4-6coswi+sinwi/N2Slnwirfw,H-cosa)iy'N,cos(>iirfa),

— s\n(ùifl\iCOS(Miid(ùi-hcos<atfR7S\noiiid(ùi,

Substituant les valeurs de N, et de R, et réduisant, la partie de /*! qui dépend du signe / devient

smû>),/slnacos((ii)i — - A)rf*— cos&>,/sinasin («i — /i)rf* — sxncùifti sinwi éÎe, — cosw,yf, cos6)|£^ei;

or» si Ton intègre la dernière des équations (a), et qu'on pose

cos« = A", on a

Wi— h=fkd(ù;

par suite on obtient, pour r, et n,, les expressions suivantes :

r, = asin&>i -f- ftcoso), -h sinwi/rf^sînacosiyA-c/w)

— cosû),/rf^sinasin(//frfa)) — sinw./fi sinu, é/e.

— coswi^/i cosa)i rfei,

n, = 6sinGi), — acosui — cosa>iy</^sinacos(7'A*c{&))

— sinw,/rf^sinasin(/Arrfû))-f- coswi/^ sin(i),£^£,

— sin6)iy^i cosui r/e,.

Ces deux expressions font connaître, avec l'arbitraire /„ les coordonnées cartésiennes des courbes cherchées.

On a donc les intégrales des courbes qui satisfont aux conditions du problème, lorsque la courbe C est donnée.

Le rayon de courbure est donné par la première des équations, qui prend la forme

et il suffit de porter la valeur de r, dans le second membre*