THÉORIE DES COORDONNÉES CURVILIGNES

Le problème des coordonnées curvilignes n'avait été résolu que dans deux cas particuliers : dans le cas où elles sont orthogonales, par Lamé, et dans le cas où les coordonnées sont au nombre de deux, tracées sur une surface quelconque, par l'illustre Gauss, lorsque dans notre Théorie des coordonnées curvilignes^ présentée à l'Académie des Sciences en 1862, et publiée dans les Ànnali di Matematica, nous donnâmes la solution générale de ce problème.

Cette solution générale était devenue nécessaire. Une hypothèse particulière, par exemple celle de Torthogonalité des lignes coordonnées, tout en simplifiant les formules, du moins en apparence, altère toujours et souvent fait évanouir les théorèmes qui appartiennent à l'essence de la question, par les restrictions qu'elle y introduit. Mais, pour obtenir la solution de la question au point de vue le plus général, il se présentait des difficultés du premier ordre. En effet, les trois co* sinus des angles coordonnés, leurs variations premières et secondes par rapport aux trois paramètres qui fixent la position du point, s'introduisent nécessairement dans la question; et, lorsqu'on veut la résoudre analytiquement, ces quantités, au nombre de trente, qui n'existent pas dans le système orthogonal, viennent, par leur présence, compliquer le calcul et entrent dans la composition des coefficients d'un système de , neuf équations à neuf inconnues. Or, comme la résolution de ce système d'équations est indispensable, on a à surmonter toutes les difficultés analytiques provenant de cette résolution et aussi de l'interprétation des symboles. C'est pour cela