DES COORDONNÉES CURVILIGNES QUELCONQUES

241. Définitions, État de la question. — Concevons une surface rapportée à des coordonnées curvilignes rectangles^eldont réquatîon serait/ (:r, r» ^] = p; si Ton donne au paramètre p toutes les valeurs possibles, on aura une série de surfaces qui formeront une famille que nous représenterons par (p). Si Ton se donne trois familles de surfaces quelconques :

un point quelconque de l'espace sera déterminé par l'intersection des trois surfaces que Ton obtient en donnant aux trois paramètres p, pi, pt des valeurs convenables. Les trois familles de surfaces (p), (p,), (ps) forment un système de surfaces propres à déterminer par leurs intersections tous les points de l'espace. Ces surfaces sont dites coordonnées. Généralement, l'angle que forment entre eux les plans tangents, menés en un point de l'Intersection commune de deux surfaces, n'est ni droit ni constant: il varie avec la position du point.

Soit un point mobile, supposé libre ou assujetti a se mouvoir sur une surface ou sur une courbe. Si l'on étudie les différentes positions de ce point au moyen d'un système de coordonnées quelconques, les déplacements de ce point ont des relations nécessaires avec les déplacements correspondants que subissent les coordonnées de ce point; le problème des coordonnées curvilignes consiste à déterminer ces relations, en leur donnant la forme la plus simple.

Ces relations, au point de vue géométrique, sont des théorèmes remarquables entre les éléments de la trajectoire décrite

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el les éléments des courbes ou des surfaces coordonnées. Au point de vue analytique, elles fournissent un moyen facile de passer d*un système à un autre système» et aussi de résoudre la question qu'on se propose, dans le système le mieux adapté à cette question.

2i2. Notations; hypothèses, — Toute grandeur déterminée par une seule surface coordonnée prendra Tindice de celle surface. Si cette grandeur est déterminée par l'intersection de deux surfaces coordonnées, elle prendra l'indice de la troisième surface.

Nous appelons n, n„ n^ les trois normales aux surfaces en un point fp, pi^ps) de leur intersection commune; /, /t, la» les trois tangentes aux trois courbes coordonnées passant par le même point ; <t, ^,, Vt les trois arcs coordonnés se coupant en ce point.

Nous regardons comme positifs une normale, une tangente, un arc, etc., comptés du côté où le paramètre de la surface augmente, et négatifs quand on les compte en sens contraire.

Dans la permutation des indices, nous regardons comme affectée de l'indice zéro toute lettre dénuée d'indice, et nous restituons cet indice toutes les fois que la cbose devient nécessaire pour éviter toute ambiguïté. La permutation rotatoire sera directe lorsque les indices o, i, 2 seront respectivement remplacés par i, 2, o.

Lorsqu'un groupe d'équations se déduit d'une équation donnée, par la rotation des indices, nous écrivons à droite de cette équation, considérée comme type, un chiffre entre parenthèses ( ), indiquant le nombre^des équations contenues dans le type.

Lorsqu'un groupe d'équations se déduit d'une équation par la permutation des lettres x, y, 2, nous écrivons, à droite de cette équation, entre crochets [ ], un chiffre indiquant le nombre d'équations appartenant au groupe qui se déduit de cette équation comme type.

Les parties positives des tangentes t, ^, ^ forment un triédre, et les parties positives des normales n, n,, iti forment un autre trièdre. Ces deux trièdres sont supplémentaires.

DBS GOORDONNftBS CURVIUGNBS QUBLCOIIQUES. 897

Appelons 6, 0,» 6, les angles des normales positives Ri, n,; nu n;n,ni; et (p, 91, 91 les angles des tangentes positives fi, /,; iu t; t, /i. D*après cela, les angles dièdres du premier angle solide seront tt — <p, tt— <p,, 71—92; les angles dièdres du second angle solide seront tt — 0, tt — 9i, tt — ôa.

Il nous sera quelquefois plus commode de représenter les variations partielles par rapport à p, p., pt par les caractéristiques du dit dt ou bien par J^ d^^^ d^^.

Lorsque, dans une expression placée sous le signe 2, un indice ou une lettre reste invariable durant la permutation tournante des autres indices également placés sous le signe 2, nous aurons soin de placer cet indice ou cette lettre, qui reste invariable, entre crochets [ ].

Les surfaces coordonnées passant par un point forment, avec les trois surfaces coordonnées passant par un point inBniment voisin, un parallélépipède curviligne dont les arêtes, contiguës uu premier point, seront da, é/^i, da^

243. Données du problème. — Si Ton appelle h] la somme des carrés des dérivées du paramètre pi par rapport à a;, 7, z, on aura les valeurs de As h% h\ et de d, 6t, 6u au moyen des deux groupes

' ' dx' dy* dz' " v ,

,3 ±!lp^p'lt+^±' = h,h,cose. (3)

' ' dx dx dy dy dz dz ^ '

Les angles f , <pi, 91 seront donnés par les trois équations contenues dans le groupe

, -, dx dx dr dr dz dz rfcr, rfc, ,,.

■^' dpi c/p, ap, dpi dpi dpi dpx dp.

Les auxiliaires /i, /i,, A, sont nommés paramètres différen* tiels du premier ordre.

244. Des paramètres différentiels du premier ordre. — Soit ds le déplacement du point A(p,p,,p3]9 dans une direction quelconque; dx, dy, dz les projections de ce déplacement sur les

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trois axes rectangulaires x^ y\ z. Si nous prenons la variatioD d'une équ9iiïoï\f(Xfjr, z) = p par rapport à ds, nous aurons

or» en divisant les deux membres par hds^ le second membre devient égal au cosinus de l'angle que la normale n fait avec le déplacement ds, et Ton obtient

ds I

dp Acos(it, fib)

Si le déplacement ds coïncide successivement avec les arcs da, d(Ti^ d<Tt, on obtient le groupe contenu dans l'équation

Ot, si l'on projette la tangente / sur le plan /, ^, en appelant p cette projection» on aura

(5)' cos [n^t) = sin(/>, /j=:=sin9, sinds^sindisinfa* (3)

Delà résulte que le produit sindslnçi sincps ne change pas quand on fait subir aux indices la permutation rotatoire, et qu'il en est de même du produit sindsindi sinçs. Si Ton pose le premier produit égal au rapport de l'auxiliaire M au produit des trois paramètres h, ht, As, on aura, par l'élimination de d,

L 1 2 i i == ^ ~ cos'ç — cos' 9, -— cos' 9a -f- 1 COS 9 COS 9» cos 93,

et le groupe contenu dans le type (5) devient ft^s, ddx AAjSin9, ,^.

Il est aisé de voir que l'auxiliaire M a une signification géométrique; elle représente le volume d'un parallélépipède construit sur liy hxy ht qu'on aurait préalablement porté sur les directions des éléments cfo-, r/o-., c/o-j à partir du point A.

DBS COOBDOIfNfiBS GORTILIGKBS QUBLCONQUBS. Sgg