Composantes obliques d'une longueur. — Soient

^ une longueur donnée en grandeur et en direction;

/(O, /(i), /(» ses composantes obliques suivant les tangentes aux axes coordonnés;

^•)^ ^(i)^ ^1) ses projections orthogonales sur les mêmes tangentes;

/("}, /("i), /("a) ses composantes obliques suivant les normales n«, /i„ /i>aux surfaces coordonnées;

4^*), ^("i), ^(«») ses projections orthogonales sur ces trois normales.

Si Ton construit deux parallélépipèdes dont les arêtes du premier soient /<•>, /('\ A*^ et dont les arêtes du second soient /("), /("i)y /(s); en projetant sur la tangente t et sur la normale n les périmètres des polygones fermés» dont les côtés du premier sont l^^K /^'^/^'^4;, et dont les côtés du second sont /('•^ /("«^ /("*^ ^ on obtient les deux équations

/ ^(')z=/(Ocos(rf(7, rf<7)-+-/c«)cos(rfo', £/<7,)-f-/f*)cos(rf(y,rf<r,), I , . ^ I 41î"^ = /^"^ cos ( n, /i ) -h ^"»> cos ( n, /i, ) -h /("«î cos ( n, n, ) ; j

or, si Ton projette le périmètre du premier polygone sur la normale n et le périmètre du second sur la tangente, on a les deux types suivants :

j41<->=/^*>cos(n,dcr), j '^ ) ^•) = /(«)cos(ii,rf(7); (

de ces dernières, on déduit les suivantes :

f/ % / J N V . ^ cosfrrfo"], rfo")

cos n, c/o-)

f /^•îcos n,rf(T= 2 4*(*^ ^'; ^ , /» »

\ \ ' / -^ cos(/i, rfo") ;

On voit que les équations (6) donnent les projections orthogonales en fonction des composantes obliques, et que les équations (6)' donnent les composantes obliques en fonction des projections orthogonales.

4oO LIVtB II. -- SECTION I. — CHAPITRE I.

â&G. Angle de deux droites. — Soit une seconde droite 4^ menée en grandeur et en direction à partir du même point, et soient les composantes obliques et les projections de^et de^ représentées par les mêmes lettres, les secondes étant accentuées; si l'on projette sur ^ le périmètre du polygone gauche dont les côtés sont égaux et parallèles à ^*>, /(*>, /^'>, on aura une première relation ; et, en projetant sur ^le périmètre du polygone gauche dont les trois côtés sont égaux et parallèles à f (•), /'(O^ f (a)y on aura une seconde équation. Nous écrivons sous la forme suivante ces deux équations :

^8) I 4Lcos(4,<:)=.2/c)cos(t,rf<x),

I 4L'cos{<^, ^)=2/'C)cos(^,rf<r);

or, si l'on élimine les composantes /(•>, /c»), /<»>, /'(•), /'(•), /(») au moyen de la première des équations (7], les deux équations précédentes deviendront

V i \\^'\^f j^ cos{n,da) J^ cos(n, cfa)

qui conduisent aux deux nouvelles équations

^Srcosff f) =1 ^^^ ^^' "^^ ^^^ ^^' "^^^ = ; ^^^ ^^' ''^ ^^^ ^^' ^^^ ■ ^ ' ^^'^^ cos (n.da) cos(ii,rf<y)

On serait arrivé aux mêmes équations en opérant sur ^et^' et leurs composantes obliques par rapport aux normales aux surfaces coordonnées. ,

Ces deux formules sont générales, pourvu que l'on considère les périmètres des polygones et les lignes comme pouvant être parcourus par un mobile suivant deux directions inverses l'une de l'autre, et qu'on prenne pour angle des deux droites l'angle des deux directions de même nom que ces deux droites.

247. Angle des arcs et des normales avec trois axes rectangulaires. — Les cosinus des angles de la normale n avec les trois axes rectangulaires sont

dp dp dp hdx hdy lidz

DBS GOOnDONNÉBS CURVILIGNES QIELCONQUES. 4^1

Les cosinus des angles que la tangente t à Taxe da fait avec

tes mêmes axes sont

flte dr dz da dcr d^

Les cosinus des angles que les normales n., n, et les tangentes ^1, /i font avec les mêmes axes se déduisent des précédents par la rotation des indices. Un point important de la théorie consiste à exprimer les cosinus des angles que font tes normales avec les axes en fonction des cosinus des a^les que les tangentes font avec les mêmes axes, et réciproquement*

On obtient ces cosinus directement et sans calcul au moyen de la première des formules (8)*'. Si l'on fait coïncider^ avec x et ^avec fiy on obtient l'équation

'^ ' cos (n,a(T)

En y remplaçant les cosinus par leurs valeurs et en opérant de même sur les deux autres normales par rapport à Taxe or, on obtient finalement les trois formules contenues dans le type suivant :

Les deux groupes d'équations semblables en j et en z se déduisent du groupe précédent en y remplaçant dans le groupe (9] d'abord x par /, et ensuite par z.

Pour résoudre la question inverse, on fera coïncider, dans la deuxième des formules (8), ^ avec x et ^avec i; on obtient ainsi

cos(/.x)=2^'^<^'"^;'"''W^^); (3) ^ ' cos(/i, d(r) ■ ^ '

en y remplaçant les cosinus par leurs valeurs et en introduisant lesatixiliaires H, Hi, H2 par la condition que Ton ait (2H)

4o2 LIVRE II. — SECTION I. — CilAl'ITRK 1.

on obtient les trois équations contenues dans le type suivant :

Deux autres groupes semblables en x et ^ se déduisent du précédent par le changement successif de â? en ^ et en z.

Les auxiliaires H» H,, Hs jouent dans la théorie un rôle aussi important que les paramètres h, A,, ht.

2M. Solution cutalytique de la question précédente, — SI l'on veut résoudre aiialytiquement la même question, on écrira les trois équations suivantes :

dp dp dp ^P , ^dp^^L ^^„f^ „^

Fdxdi-^Td^l^-^hTzll-^ ^"^^ ^''^ '*''

dp dp, dp dp, rfp ^. /. ^/„ ^ V

dp dp, do^^ j!p ^Ç? -a cosfn n ) * hdx dx ^ lidxuy ^ hdz dz -^''COS (!»,«,),

lesquelles sont données par les équations (2) et (3). On muU pliera la première par — 5 la deuxième par -^^ la troisième

par — -^ et Ton ajoutera membre à membre; or, en remardp^

quant que, dans cette équation résultante, les coefficients de

dp dp dp ^ .. j» .'.'

7~7~* Â/ ' 'TT ^^ ï>^>^> par suite dune propriété connue

des fonctions soumises à un changement de variable, on aura la première équation du groupe (9]; et, en opérant de même, on obtiendra les deux autres équations de ce groupe. Si ensuite on résout ce système d'équations par rapport aux incon-

dx dx dx nues-T~> -T-y --fi on tombera sur les équations du groupe (10).

Il nous semble que la marche géométrique est préférable* et rien n'égale l'élégance avec laquelle la Géométrie donne d'emblée les expressions des inconnues des deux systèmes d'équations, sans les résoudre.

DES GOORDONKÉeS CURVILIGNES QtIKLGO^QUES. 4^^

24-9. De la courbure propre et de la courbure inclinée d'une ligne coordonnée. — Si Ton se reporte au n*> 49 'du Livre I, on voit que la définition que nous y avons donnée de la courbure inclinée suivant une direction quelconque trouve son application immédiate dans la théorie des coordonnées curvilignes quelconques.

i"* Elle s'applique a la courbure propre d'une ligne coordonnée dvii puisque cette courbure n'est autre chose que la courbure inclinée de l'arc ^o-i» suivant les tangentes à cet arc;

elle est représentée conformément à nos hypothèses par et l'arc de contingence propre sera du, de sorte que l'en aura

' __ A,, <^ii "~ d<j,^

et, d'après les principes établis au n*" 40, la projection de cette courbure sur l'axe des x sera donnée par la relation

2<* Elle s'applique à la courbure inclinée d'un arc coordonné ddx suivant un autre arc coordonné c/o-i, en appelant ainsi la courbure inclinée de la ligne da^ suivant les tangentes à Tare da^^ et cette courbure sera représentée, d'après les

mêmes hypothèses, par-; — ; et si» par le point que l'on con-

sidère, on mène deux droites parallèles aux tangentes menées par les extrémités de l'arc da^ aux deux courbes de la série (o'a) passant par ces extrémités, et que de ce point comme centre, avec un rayon égal à l'unité, on décrive un arc de cercle entre ces deux parallèles, cet arc de cercle dji sera Tare de contingence inclinée correspondant, de sorte quo l'on aura

K^7i "^ dd, '

et, si l'on projette sur l'axe des a: le périmètre du triangle infînilésimal isoscèle ainsi formé, on aura l'expression suivante

uG.

4^4 LIYRK II. — SKCTION I — CRAPITRK I.

de la projeclion sur Taxe des x de la courbure inclinée :

3® Elle comprend la flexion d'une surface coordonnée suivant une direction donnée sur celte surface. En effet, cette dénomination s'applique au rapport de Tangle de deux normales à la surface menées parles deux extrémités d'un arc infiniment petit siiué sur la surface, à la longueur de cet arc ; on voit donc que la flexion de la surface p, suivant un arc ^0*1, n'est autre chose que la courbure inclinée de cet arc suivant les normales a la surface et qu'elle sera représentée par

- — > et l'arc de contingence inclinée correspondant par d»i,

ce qui fournira la relation

X^nx "" d(Tx '

et Ton aura, pour représenter la projection de cette courbure sur l'axe des x, l'équaiion

(.3) cos(n,^) = — i^'.

250. Des composantes d'une courbure inclinée* — Quelle que soit la courbure d'une ligne coordonnée que l'on considère, son arc de contingence inclinée correspondant donne la direction de cette courbure et, de plus, comme cet arc est proportionnel à cette courbure, il peut aussi la représenter en grandeur; de celte sorte les composantes de cet arc, suivant des directions données, sont proportionnelles aux composantes des courbures suivant les mêmes directions; on aura donc une image nette de ces dernières composantes au mojen

des premières. Soit la courbure-;— d'un arc rfo-i, inclinée sui-

vant rfo-,, nous pourrons prendre les composantes de celte

courbure suivant les trois arcs coordonnés dtr, dcrx^ das, et

nous représenterons ces composantes par ^p j<7,» j^^^\ nous

*a I 'ai *3 1

DBS GOORDONNÊBS GURVILIGKBS QUBLGONQUES. 4^3

pourrons également prendre les composantes de cette courbure suivant les trois normales aux surfaces coordonnées, et

nous représenterons ces composantes par -^» -^^i p-^- De

• J I *2 I Ml

même, nous serons conduits à projeter cette courbure» soit sur les directions des arcs coordonnés, soit sur celles des normales; les trois premières projections seront représentées par

jHîi'Tîô'jrm» et les trois secondes par -1^, ^, * . H

nous sera moins utile de considérer les projections de la

courbure •— sur les plans tangents, soit à la surface p, soit à

la surface pi, dont l'intersection donne la ligne coordonnée da^ que Ton considère, et Ton représentera ces deux projections

par r^,9 P7J9 les indices supérieurs étant relatifs aux sur-

faces.

£n ce qui concerne les composantes des arcs de contingence inclinée d'une ligne coordonnée, des conventions analogues doivent être faites. Soit 3,, Tare de contingencejnclinée

relatif à la courbure -j—y les composantes obliques de cet arc

de contingence suivant les trois lignes coordonnées et suivant les trois normales seront i'/*, i% i\'!; 1^,"^ i^"l\ i^"l\ .

Les projections orthogonales de cet arc sur les lignes coordonnées et sur les normales, seront exprimées par les symboles correspondants 3*//, ôV*, ^î,','; 5^",^ 5^,^' 55;,«\

Les projections de cet arc de contingence sur les plans tangents aux surfaces p etpi, seront par la même raison J*/,^ J^/.

Ces conventions s'étendent à une courbure inclinée quelconque, de sorte que, par l'emploi de cette notation, il ne pourra jamais y avoir la moindre ambiguïté, ni sur la nature de la courbure inclinée, ni sur la nature des composantes dont il s'agit.

251. Relations entre les composantes obliques et les projec' tions orthogonales d'une courbure. — Les équations (6) du n° 2^5 étant appliquées aux composantes obliques d'une cour-

4o6 MTRK II. — 9KCTI0M 1. — CIIAIMTKE I.

bure -;p9 suivant les trois arcs coordonnés et à ses projections

orthogonales sur les mêmes arcs, et aussi à ses composantes obliques suivant les trois normales et à ses projections orthogonales sur les mêmes normales, donnent les deux types suivants :