oi
Ces équations forment un type contenant neuf groupes semblables relatifs aux neuf courbures des arcs coordonnés.
4o8 LIVIIK II. — JtBCTlON I. — CHAPITRE 1,
252. Fariation des cosinus des angles coordonnée enfonc-' tion des courbures. — Si Ton se reporte au n"* 49 et qu'on fasse coïncider les directions v, fjc, dk avec les directions «/a-., ddiy ddf la formule ("k) donnera le type suivant, qui formera neuf équations:
/ rfC0s(f/(T,,rf(7,l COS(rf(Tf^n) \
•C" -Cm -La»
lequel fournit la proposition suivante :
TefiORÈMB I. — Si l'on prend les courbures inclinées d'un arc coordonné suivant deux arcs coordonnés quelconques et qu 'on projette ces deux courbures, chacune sur celui de ces deux arcs qui est réciproque à l'arc d'inclinaison, la somme de ces projections est égale à la variation du cosinus de l'angle de ces deux arcS par rapport au premier.
La formule (17] est tout à fait générale, et chacun des indices du premier membre a son correspondant dans le second, de sorte que la variation d'un seul indice du premier membre entraînera la variation du même indice dans le second.
Si l'on considère toutes les équations dans lesquelles le premier membre a, à son numérateur, un de ses indices identiques à Tindice du dénominateur, on trouve les six formules données par le type suivant :
lequel donne lieu à la proposition suivante :
Théorème II. — La projection de la courbure propre d'un arc coordonné sur un autre est égale à l 'excès de la variation du cosinus de Vangle de ces deux arcs par rapport au pre* mier sur la courbure de cet arc inclinée par rapport au second f projetée sur le premier.
Comme la courbure propre d'un arc donne une projection nulle sur cet arc, et que les projections de cette courbure sur
DES COORDONKÉB8 CURVILIGNES QUELGONQITBS. 4^
les deux autres sont données par les formules (iS), la courbure propre de cet arc est connue en grandeur et en direction en fonction des variations des angles que cet arc fait avec les deux autres et des projections de ses courbures inclinées suivant ces deux arcs» sur Tare lui-même.
Si l'angle que cet arc fait avec les deux autres est constant» les projections des courbures propres de cet arc ne dépendent que des projections de ses courbures inclinées, suivant ces deux arcs, sur l'arc lui-même.
Il est évident que la constance d'un angle coordonné entraîne le théorème suivant :
Théorèhb III. — Si rangle de deux arcs coordonnés est invariable f et qu'on projette sur un de ces arcs fa courbure de cet arCf inclinée suivant le second, cette projection est égale et directement opposée à la courbure propre du même arc projetée sur le second,
253. Variation des mêmes cosinus en fonction des projection des arcs de contingence inclinée. — 11 est aisé de voir que, si l'on multiplie les deux membres de l'équation (17) par dv, elle peut être mise sous la forme suivante :
(17/ c/,{cosrf<j., d^,) = 3\V + ôVJ. (9)
Cette équation donne naissance à un théorème analogue au théorème I du numéro précédent.
TflâORtaB IV. — Si l'on prend les arcs de contingence mclinée d'une ligne coordonnée suivant deux lignes coordon^ nées quelconques qui déterminent une surface et qu'on pro» jette ces deux arcs de contingence chacun sur chacune de ces deux lignes 9 réciproque à la ligne d'inclinaison^ la somme de ces projections est égale à la variation du cosinus de V angle de ces deux lignes par rapport à la surface qui le» contient.
On déduit de même de l'équation (18) l'équation suivante r
(18)' ôiv == rfcos (rf(r„ dtj) - 5»;;.
qui donne aussi lieu à des théorèmes analogues aux théorèmes II et m du numéro précédent.
4lO LIVRK H. — SKCTION 1. — GIlAPITRe I.
254. De la variation complète du cosinus d'un an^e coor^ donné. — Si dans Téquation (17)' nous remplaçons successivement l'indice zéro par les indices i et a, nous aurons deux nouvelles équations; si nous ajoutons membre à membre ces trois équations, le premier membre de l'équation résultante sera la variation complète du cosinus de l'angle [d^u dat) ; on aura donc la relation
(19) dcos (rf(7., rfc7,) = (5«v -*- ô\v -+- 5\v) + (ôv; -4- 3v; -^ ^v;}.
laquelle donne naissance au théorème suivant :
Théorème V. — La variation complète des cosinus d'un angle coordonné est égale à la somme de tous les arcs de contingence des lignes coordonnées, inclinés suivant les deua: côtés de cet angle et projetés chacun sur le côté réciproque au côté d'inclinaison.
On voit que, si cet angle est droit ou constant, la somme de ces projections est nulle*
255. Variation des angles coordonnés, — Considérons maintenant l'équation (X') du n^ 49, et faisons coïncider les directions v, /x, dl avec e/o-|, dau dcr^ cette équation deviendra, en remarquant que 9 = (rfo-,, rfo-,),
/ \» do I ï , .
U(T 1-.,, l^jj
de laquelle on déduit le théorème suivant :
THfioRfeMB VI. — La variation d'un angle de deux arcs coordonnéSf par rapport à un arc coordonné quelconque, est égale et directement opposée à la somme des projections^ sur le plan tangent à ces deux arcs, des courbures inclinées de cet arc suivant les deux côtés de l'angle.
On déduit facilement des théorèmes analogues aux théorèmes II et III du n» 252.
Si Ton introduit, dans Téqua^ion (17)'^, les projections des angles de contingence inclinée sur le plan tangent, cette équa-
DKS GOORDOMNÊKS CURVILIGNKS QUELCONQUES. 4^'
tion prendra la forme suivante :
(.7)- - rf.9 = j'.v + J',V. (9)
laquelle donne immédialement le théorème suivant :
TBfiORftMB VII. — Si l'on fait varier une surface coordonnée^ la variation résultante d'un angle coordonné quelconque est égale et de direction contraire à la somme des projections, sur le plan tangent à cette surface, des angles de contingence de la ligne qui coupe la surface, inclinés suivant les deux lignes qui forment l'angle.
Pour que l'application de ces deux dernières formules ne donne lieu à aucune méprise, il faut remarquer que le second indice inférieur, commun à chaque terme du second membre, est le même que Tindice de la différentielle d du premier; que les premiers indices inférieurs du second membre sont marqués par les indices des deux côtés d<Xi, dcr^ de l'angle 9, et que Tindice supérieur commun aux deux termes du second membre est marqué par l'indice de 9.
D'après cela, en remarquant que rf = r/© -+- </i -4- rfi, on aura l'expression suivante de la variation totale de l'angle 9 :
( .9)' - rf<p = j'.v + y:: + j'.v + r:i + j-v + rr,,
dans laquelle il serait facile de déduire un théorème analogue au théorème V.
256. Expression des angles de contingence géodésique d'une ligne coordonnée en fonction des variations des arcs coor-^ donnés, -~ Cette expression dépend de la résolution du pro* blême suivant:
Problème. — Un point quelconque A d'une courbe plane dcr subit un déplacement AB dans le plan de cette courbe et dans: une direction donnée par une certaine loi, de telle sorte que le lieu des points B est une certaine courbe; trouver l* expression de l'angle de contingence J en fonction de la variation de l'arc da et de la variation du déplacement AB {fig. 3']),
AE, £A' sont deux tangentes infiniment voisines à li*
4l2 LIVRE II. — SECTION I. — CHAPITRE I.
courbe dtr; A'N est perpendiculaire à A'E, A'Mi h AE; A'I est parallèle à AB; /x est le cosinus de l'angle EAB (^); (h est le
Fig. 37.
déplacement AB; d représente la variation par suite du déplacement. Cela posé, les deux triangles A'ME, MiA'N donnent la suite des rapports égaux
, . A' M M.N M.B'-B'N M.H-IB'-NB' angleJ^^^ = ^^= A^N = —
or
^W = -ixds'-d.{u.ds), A'N = rf*sin4/; en substituant, on trouve l'expression suivante de J :
j __d9{fxds) — i d<T </jsinv|;
Cette formule est tout à fait générale et se rapporte à un déplacement ds quelconque.
Supposons maintenant que la courbe 0-, au lieu d*ètre plane, soit située sur une surface px, que AB, A' B'soientdeux tangentes infiniment voisines de la série (<T^) aux points où elles coupent la courbe <7, le déplacement étant toujours ds. Le poly* gone AEA'B'CB est maintenant un polygone gauche, lequel projeté sur le plan tangent à la surface au point A donne un polygone plan analogue à celui que nous venons de considérer. La formule précédente ne sera pas changée, seulement J sera la projection sur le plan tangent de Tangle de contingence de la courbe dcr, et l'angle ip deviendra ((/a, dcri); on aura donc la formule suivante, qui se rapporte à un dépla.
DKS COORDONNÉES CCRTILIGNES QUELCONQUES. ^l3
cernent quelconque d$j effectué à partir de la courbe a, sur la tangente à la courbe o-i :
257. Expression des angles de contingence géodésique^ par rapport à une surface, d'un des arcs coordonnés situés sur cette surface en fonction des variations de ces arcs, — Supposons maintenant que le déplacement ds est Tare de la courbe ai, compris entre deux courbes infiniment voisines delà série (o-)» et qu'on représente par dcùt Taire du parallélogramme dont les côtés sonid(T,d(rif de telle sorte que ^«a soit égala {/aJo-| si nf^; on obtiendra une formule relative au plan tangent à la surface Pu laquelle, jointe à la formule réciproque relative au même plan, fournira le système suivant d'équations :
(2l) r-j7^ = cf.(rf<7, COSÇa) — C/, </(T, --,^ = r/, (rf(7C0S9:) — rf.rfu,, '-••0 ^«1
lesquelles donnent les angles de contingence propre géodeslque de chacune des lignes coordonnées sur chacune des deux surfaces qui contiennent cette ligne, ces angles de contingence géodésique étant exprimés en fonction des variations des arcs coordonnés situés sur la surface.
Expression des angles de contingence géodésique inclinée d'un des deux arcs coordonnés situés sur une surface enfonc^ tion des,variations de ces arcs. — Si Ton effectue la différentiation indiquée dans le second membre de Téquation (21], et
qu'on élimine j-(^ de la première et |-^ de la seconde, au
moyen des deux formules réciproques, relatives au plan tangent à la surface pi (255),
Ja) ' I (2) ' J^ — I «»> "^ I »2>'
d<T L\V UV ^cr. LiV L\ .
contenues dans le type (17)^, on tombe sur les deux équations réciproque.^ suivantes :
(22) j-,^^=rf, rf<7— ■COSÇt^/orfs',, -r-f^=rf»^/c7, — COSÇar/.rfo-. (3)
4l4 LIVHK II. — SKCTION I. — CllAI'ITIlk 1.
Ce type contient six formules qui sont relatives par couples à chacune des surfaces coordonnées, et font connaître, sur chaque surface, les angles de contingence géodésique de l'un des deux arcs coordonnés suivant l'autre.
Pour trouvei^ toutes les formules renfermées dans les types (21), on fera subira chacune de ces équations la permutation tournante des indices, ce qui fournira quatre nouvelles équations, et Ton opérera de même sur les équations (22).
Expression des projections des courbures propres el des courbures inclinées sur les arcs coordonnés. — Si Ton a recours aux relations (16)" du n^251, on pourra introduire, par élimination, dans les formules (ai) et (22), les projections des courbures propres et des courbures inclinées, et Ton obtiendra ainsi les deux systèmes suivants :
—ûr — d.[d<7x COS9,) — rf, rfo-,
(,) =^d,[d(T COSÇa) —d.dT , •Cl «
dtrdcTx j j , ,
la) =dtd(T — COSÇa a. ddiy
— TjTy- = a.acT, — COS91 0, da,
"Coi
qui sont relatifs au plan tangent à la surface ps. Les deux systèmes relatifs aux surfaces p et pi se déduisent des précédents par la rotation des indices.
258. Variation des arcs coordonnés. — 1* Si l'on résout les deux équations (22), par rapport aux variations d^d^t, dxdu^ prises comme inconnues, on obtient les deux équations suivantes relatives à la surface ps :
. ^. sinytrfirfo- I ros9, sin(D,^/.rf(T, i coscp, .^.
^""^^ ~d<T da, - L'.V "^ T^r ' <^cr«/<7. - L'.V "*" T'.V" ' ^'
lesquelles donnent les variations des arcs tracés sur la surface P2, en fonction linéaire des courbures géodésiques incii* nées de ces arcs, suivant leurs directions réciproques.
DBS COORDONiNÉBS CURVILIGNES QUKLCOBIQUKS. 4'^
^* On déduit de même des équations (22]' les expressions éqUivalenies de ces variations, en fonction linéaire des projections normales des courbures inclinées de ces arcs :
sin'9,rfrrfo' I coscpi
^ ' * sin'93c/,a(7i I ros<p, ' ^ '
lesquelles, si l'on appelle^- la résultante des courbures — ,^,» -777, î prendront la forme significative suivante :
, ^.„ sin'cpa rf. dfj ros (>,. da) sin-yarforfq-, ros().,.f/g,)
^ " ^ c/{7 (/o-, "" Ai ^ û^T, rfôr ~" Â, * ^ '
On obtiendra les groupes des formules relatives aux autres surfaces par la rotation des indices.
S"" Enfin, si dans les équations (sS)' on exprime, au moyen des formules (i4j> les projections des courbures sur les arcs coordonnés en fonction des composantes obliques de ces courbures, on trouve facilement les deux relations suivantes:
Ces formules se rapportent à la surface pa, et elles font connaître la variation d'un arc en fonction des composantes obliques des courbures inclinées, en donnant la proposition suivante :
Théorème. — La variation d'un des deux arcs coordonnés situés sur une surface par rapport à l'antre arc est égale à la différence des composantes obliques suivant le premier, des courbures inclinées de ces deux arcs suivant leurs tangentes réciproques,
259. Relations entre les composantes des courbures in^ clinées. — On a les deux relations
dx Y d(Xx dx ^ ddi
dp, ' ' f/p, (h> ' //pi '
4l6 LIVRE II. — SBCTIOII I. — CHAPITRE !•
k différentiation de la première par rapport à çh et de la seconde par rapport à pi donnera deux résultats identiques, quels que soient X, Xi» X3. Or, si de ces deux résultats on
élimine les deux termes -,— '» -y—? au moyen des équations {2)
et qu'on Identifie les coefficients de X, Xi, X,, on obtient deux sortes d'équations. La première reproduit les équations (23)' du n^ 2589 ce qui constitue une démonstration analytique des formules et des théorèmes relatifs aux variations des arcs coordonnés et établis géométriquement dans le numéro ciié. La seconde sorte d'équations est renfermée dans le type suivant :
(^4) 7tT, = 4' (3)
de laquelle on tire la proposition suivante, qui a une grande importance dans la théorie.
Théorème. — Les composantes obliques, suivant un arc^ des courbures inclinées d^s deux autres arcs suivant les arcs réciproques sont égales.
Maintenant, si dans l'équation précédente on exprime les composantes obliques des courbures inclinées en fonction des projections de ces courbures sur les arcs coordonnés, on tombe sur les équations contenues dans le type suivant :
(^4/ j7îâï-7inM s»n?-^- — ,7ù^ Tm — = o. (3)
260. Expression de la courbure inclinée d'un arc suivant le second et projetée sur le troisième^ en fonction des variations des arcs coordonnés. — Il nous reste à calculer la projection de la courbure inclinée d'un arc suivant le second, cette projection étant faite sur le troisième. Ces projections sont au nombre de six. Or, si l'on élimine dans l'équation (24)' les
courbures —77,» -773 au moyen des formules (22)', on obtiea-
dra les trois équations suivantes, qui se déduisent l'une de l'autre par la rotation simultanée des indices, et qui contien-
DES COORDONNÉES CURVlLItiNES QUELCONQUES. 4*7
nent ces six projections
or le type (17)' coniienl les trois équations suivantes entre les mêmes projections. Ces équations» qui se déduisent aussi l*une de Tautre par la rotation simultanée des indices» sont
on a donc un système de six équations linéaires entre six inconnues qui sont les projections dont il s'agit» de sorte que la résolution de ces équations fera connatire ces projections. Comme chacune de ces six équations ne renferme que deux inconnues, Télimination se fera simplement de la manière suivante : on ajoutera la dernière du groupe (25) avec la deuxième du groupe (26]» et l'on tombera sur l'équation
/^^^ ' . ' rf(rf(T. cosy)-cos9.rf.rf(r
qui forme un type des trois équations que l'on obtient par la rotation simultanée des indices; en prenant la différence des deux dernières de ce groupe, on tombera sur l'équation
l rfdrfi (rfo-acosçi) — -rfc.rfjfrfq-coscpi) / I I I — • rfq- ros cp, (/, rfo-, 4- rfq*! ^os cprfo dd^ (
K^:i ~ ZT. " c/crrf(7.rfcr, ' '
et enfin, si l'on ajoute cette équation à la dernière du groupe précédent» on obtiendra le type suivant :
l - — TTn) — ■' ~ ^0 [d(Jx ddi COS9; — di [ddy d<7 cos 9,) ) [ +d(Tidy ( coscp, -, U \
qui contient six équations. On obtient celle qui est conjuguée en surface à Téquation décrite» parla permutation des indices inférieurs de la courbure» et des mêmes indices dans l'équation» ensuite chacun de ces types produit trois autres équations par la rotation simultanée de tous les indices.
4l8 LIVRE II, — SKCTION I. — GRAPITRB I.
261. Remarques sur les formules précédentes. — D'après ce qui vient d'être établi dans ie n® 257 et les suivants» les projections des courbures propres et des courbures inclinées des arcs coordonnés sur les trois arcs coordonnés peuvent s'exprimer en fonction des variations de ces arcs. En effet, chaque ligne coordonnée a trois courbures, l'une propre et les deux autres inclinées suivant les deux autres lignes coordonnées. Or la projection de la courbure propre d'une ligne coordonnée sur cette ligne est nulle, et la projection des courbures inclinées suivant les deux autres lignes sur ces lignes est aussi nulle; cela réduit à six les projections des courbures propres et inclinées d'une ligne coordonnée. Le nombre des projections des courbures des lignes coordonnées est égal à dixhuit; or, de ces dix-huit courbures, six sont données par les formules (21)', six par les formules (22)', et six par les formules (28]. On a donc cette proposition ;
Théorème I. — Toutes les projections^ sur les lignes coordonnées^ des diverses courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées suivant ces lignes s* expriment en fonction des variations des arcs coordonnés.
Et comme, lorsque l'on connaît les projections des courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées sur ces diverses lignes, les composantes obliques sont aussi connues en vertu des formules (16), on a aussi la proposition suivante :
TefibRÈHE II. — Les composantes obliques des courbures propres ou inclinées des arcs coordonnés suivant ces arcs s* expriment en fonction des variations de ces arcs, et il en est ainsi des courbures elles-mêmes.
SI l'on ajoute les trois équations non conjuguées en surface contenues dans le type (28), on a l'équation résultante
2 d(J d<Tx rf(7, l-rjT) •+• ylT) "^ 7Tn ) / 8V/ )( \
= rf^î ^' (^^S9^^^)-*- rfcrî rf. (cos9. ^)+ rfa^rf.(cos9. ^j-
