DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DES COURBURES

§ L — Des liaisons entre les variations des courbures.

263. De la variation de Vangle qu'une direction variable fait avec une direction fixe, — Soll l'axe des a: celle direction; considérons une ligne v menée par un poini et dont la direction varie avec le point. Si nous reslons fidèle à notre notation et que nous représeniions par X, Xi, X,; Y, Y„ Y,; Z, Z,, Z, les cosinus des angles que les arcs des coordonnées dfjj ddx^ d<Ti font avec les axes des x, y* ^f rectangulaires entre eux, on aura l'équation

/ \ ^ ^^^î \ d(Ti fX , X, , X, \ ,«.

(.) cos{v,*)=^(^^, + ^ + ^j, (3)

qui est générale, et qui se rapporte à une direction quelconque de Vy de sorte que, si Ton fait coïncider celte direction successivement avec les trois arcs coordonnés, on aura les neuf équations contenues dans le type suivant:

, X rfX (fo*! /Xo . Xi . Xs \ , .

Le nombre de ces formules est neuf, provenant des différentiations par rapport à p, pi, pa des trois valeurs que prend le second membre de Téquaiion ( i ), suivant que l'on fait coïncider V avec chacun des trois arcs coordonnés.

26i. De la double variation de Vangle (v, x). — Si l'on prend la variation par rapport à ps des deux membres de Téqua lion (i), et qu'on élimine les variations des cosinus au moyen

DBS ÉQUATIONS AUl DlFPftlIBNCBS PAftTlBLLES DES COURBURES. 4^^

des équations (2), on aura l'équation suivante: dpt dp,

le signe Z s'étendant à toutes ies valeurs que prend l'expression placée sous ce signe, par suite de la rotation simultanée des indices non contenus entre crochets.

Cette formule est tout à fait générale ; l'indice qui suit v dans les composantes des courbures suivant la direction v est partout le même et égal à 1, il provient de la variation par rapport à Pi; le second indice, qui a£fecte les courbures des seconds facteurs de chaque terme, est partout le même et égal à 2y il provient de la variation par rapporta ps. Il sufQra donc de modifier convenablement ces deux indices dans le second membre et les variations correspondantes du premier pour avoir toutes les doubles variations possibles. D'après cela, la double variation du cosinus de l'angle (v, x)y suivant les mêmes paramètres intervertis, sera donnée par l'équation

rf|cos(v, or) " |rfpi dpi doidot y-, r 1 ^ ■ l d /rfq-[(»)] W

Op, tfp, LVl «lot) 'lv>l «liii 'l»al «(j,j 0P[i]\"P[a]'lv2l/J

Suivant que l'on fera coïncider dans l'équation (3) la ligne v avec les tangentes aux lignes coordonnées ou avec les normales aux surfaces coordonnées, on aura les doubles variations des courbures inclinées des arcs coordonnés ou des flexions des trois surfaces.

265. Des relations qui existent entre les variations des arcs de contingence inclinée suivant une direction quelconque, — Si l'on remarque que les doubles variations que nous avons trouvées dans le numéro précédent doivent être identiques, quels que soient les cosinus Xo, X„ Xa, on obtient, en identifiant les expresions de ces doubles variations, trois équations