DES ÉQUATIONS AUX DIPP6RENGE8 PARTIELLES DES COURBURES

Le groupe précédent se rapporte au plan tangent à la surface p ; les deux autres groupes se rapportant aux deux autres surfaces coordonnées s'obtiennent par la rotation des indices o, 1,2.

Les équations du type (6j forment un système équivalent au système fourni par le type (5); mais elles ont des avantages qui leur sont propres^ soit au point de vue géométrique, soit au point de vue analytique. Elles conduisent au théorème unique suivant :

Théorèiib. — Si l'on prend les arcs de contingence inclinée de deux lignes coordonnées dtTxy dtjt suivant deux directions V, fjL et qu'on projette les arcs inclinés de contingence suivant une direction y, sur la direction d^ deux arcs réciproques de contingence^ la différence des produits binaires d'un arc par sa projection et la différence des variations, par rapport aux paramètres réciproques, des projections des deux atvs de contingence inclinée suivant la direction v sur la seconde direction fi sont égales.

Ce théorème permet de condenser les neuf équations du type (6j en une seule

/ ^rfg. ^T.rcos(<^v.,4^,,,) cos(41v», -Ct..)] i ( dp, dp,l ^Iv. 41,.. -Cvi^H J )

puisqu'il suffit de faire coïncider successivement dans cette dernière la direction p. avec dtr, d<Ji, dtr^ pour obtenir les précédentes. '

267. Deuxième transformation. — Considérons le second membre de l'équation (6') ; deux des courbures sont perpendiculaires à la direction v et les deux autres à la direction [x. Soit 71 une direction perpendiculaire aux deux directions v, p, et considérons le trièdre formé par les trois directions ^vi , J^^i, TT, on a la relation

cos(^vi, 41^3) — cos(^v„ 7r)cos(^;.„ 7:)

-f-sin(4^vi, 7r)sin(^.^„ ::) cos(v, p.);

si Ton divise les deux membres par le produit 41 vi \iy.7 et

4^6 UVRB 11. — SBCTION I. — GBAFITM II.

qu'on introduise les projections de ces courbures sur le plan des deux droites v» fx et sur la normale à ce pian, en restant fidèle à la notation du n* 49» et qu'on opère de même sur le second terme du second membre de l'équation (6)% le facteur binôme de ce second membre prendra la forme suivante :

v-vi N-jn "x-»» "^(ii / \ VI (la va |ai /

Or, si l'on remarque que, dans le premier membre de l'équation (6)', les courbures -— » -— - projetées sur la direction u

sont égales aux projections de ces courbures sur le plan (v, /u} multipliées par le sinusMe l'angle [v, [i), qu'on développe les "différentiations indiquées et qu'on ait égard k l'équation (X) du n^ 49, les termes qui contiennent cos (v, /x) s'annulent en vertu de cette équation, et l'on obtient l'équation suivante :

] - d ( d(T, \ d( dj. \ I

(7) { -rfp.\^4.u;J 'dp\dpj.^^) } (3)

dpi dp^ / I I \

laquelle donne naissance au théorème suivant :

Théorèhb. — Si Von prend les arcs de contingence inclinée de deux lignes coordonnées dai, dct suivant deux directions Vf [JL et qu'on projette ces quatre arcs sur le plan des deux directions et sur la normale à ce plan, la différence des pro^ duits binaires des projections normales des arcs de contingence inclinée des deux lignes suivant deux directions différentes, et la différence des variations par rapport aux paramètres réciproques, des projections sur le plan vu des deux arcs de contingence inclinée suivant l'une ou l'autre des deux directions V, fx sont entre elles dans un rapport égal au sinus de ces deux directions.

L'un et l'autre des théorèmes démontrés dans ce numéro

DBS JfiQUATIONS AUX D1FFÉEBNCB8 PARTIELLES DBS COURBURES. 4^7

et dans le numéro précédent ont une grande importance, parce que chacun de ces théorèmes renferme, d'une manière complète, la solution du problème des coordonnées curvilignes, ayant pour but de déterminer les équations aux différences partielles du second ordre des lignes coordonnées, comme la chose sera mise en évidence dans les numéros suivants.

^68. Des relations qui existent entre les variations des courbures inclinées de deux arcs coordonnés suivant une di-^ rection quelconque. — i® Développons les différentiations indiquées dans les premiers membres des équations (5), et remplaçons les variations des arcs par leurs valeurs tirées des équations (23)' du Chapitre précédent, et Ton aura les trois équations suivantes :

5ï; (ë) " 5^ fe) ■*" ë fe ~ îïv) ■" c fe "" i\v

-faiJ \*l»il'»m 'w *»tii/

^J VlYil «,cii 'M '•tu/

Ces équations sont relatives aux variations des composantes obliques des courbures inclinées.

269. Des relations entre les variations des projections des courbures inclinées. — Pour obtenir les relations qui existent entre les variations des projections orthogonales des courbures inclinées, il faut se servir des équations (6)' et éliminer les variations des arcs au moyen de la formule

(9) —jr^TZ — =T7m-^-77m^ (6)

d(Ti d<T7

428 LIYBB 11. — SICnON 1. — CHÀPrriB If.

qui n'est autre chose que la Torinule (23)' du Chapitre !*''• on obtient ainsi

/ \ ) ^ l ^ ^osçX i / I cosy\ l . .

Cette équation est telle que le second membre ne fait que de changer de signe lorsqu'on change v en |x, et» réciproquemeni, il résulte que l'on a l'équation

(I coscdX / I I \ .1

qui se déduit aussi de l'équation (2) du n** 49 par le procédé Indiqué à la Gn du n"" 266» et par l'élimination des variations des arcs.

S"* Enfîn on obtient les relations qui existent entre les va* riations des projections des courbures sur le plan des directions (v, fx); en effectuant les différentiations indiquées dans le type (7), et en éliminant les variations des arcs au moyen de la formule (23], Chapitre I» on obtient ainsi l'équation suivante :

f / 1 cosyX f

^^^) \ si

sin ( V, a ) V -C ^""V '^""^ -C 2^ it" ^'^ /