DBS ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DBS COURBURES
et comme le second membre ne fait que changer de signe lorsqu'on change fz en v et réciproquement^ on oblient une équation analogue à celle qu'a fournie Téquation (lo).
270. Des facteurs binômes des seconds membres des équa^ lions précédentes. — Considérons d'abord le facteur binôme situé dans le second membre de l'équation (6)' et son expression en fonction des variations des courbures donné par le premier/Si dans l'équalion (X) du n"" 49 on fait successivement coïncider la direction X avec d(Tx et da^^ on obtiendra deux équationsau moyen desquelleson pourra éliminer une ou deux courbures inclinées du premier membre de l'équation (6)'; de sorte que si, pour abréger, on représente le facteur binôme par t^v^S on aura
dp, dp, ^^ - dp, [dp^ ^(^'j dp, [dp, 4:tî7
d^ (f^^^2 __d^ ( d(Tt \ d / da, \ rf'cos (y, jtx) rfp. dp,^^ dp. [dp, J(i}:0 "^ dp, [dp2Ji^> ) dp, dp,
d / d(T, \ d / d<r, \ rf*cos(v, fx)
De même, si Ton représente par U^v' le facteur binôme du second membre de l'équation (7] et qu'on opère de la même manière sur cette équation au moyen des deux équations que Ton obtient en faisant coïncider la direction "k dans la formule (X)' du n° 49 avec les direciions rfdi, rf<T„ on obtient les deux
43o LIYRB II. — SECTION I. — GHAPITRB II.
nouvelles formes de l'équation (i6)
dp, dp, sin (v, ix) "" rfp, \dp, Cv "^ ^P' W 4'7 ^'^' "'^^
d r d<T, \ d f dd, \ rf'iv^j^.
Les deux binômes t)J|^' et UJ/ ont donc chacun quatre expressions principales; celles du premier binôme sont en fonction des variations des projections des arcs de contingence inclinées r/o-i, da, suivant les directions v ou /x sur ces deux directions; celles du second binôme sont en fonction des variations des projections des mêmes arcs de contingence sur le plan des deux directions v, |x.
271. Expression résultante des facteurs binômes. — Si Von développe les différentiations indiquées dans les quatre expressions des binômes t)^' etUJ|,' et qu'on élimine les variations des arcs, comme nous l'avons déjà fait à la fin du numéro précédent» nous obtiendrons quatre nouvelles expressions de ces binômes en fonction des projections des courbures inclinées correspondantes sur les deux directions v ei fi lorsqu'il s'agira du premier binôme, et sur le plan des deux directions V et fx lorsqu'il s'agira du second ('). On a donc les deux nouvelles expressions du t)vli'
,j^/j\ rf / I \ t / I co«o\
•^ - dâ, \^^^) ^ d^. [Z^^) ^ sin^cp 4:tr \Ci ^ ÛV'V
(lO)"
I / I cosqX rf*cos(v, fx) dp, dp, ^T^fe^^^jf/ dp,dp, dârdâ.
sm
,a__ d / X \ ^/j__\ 1 f I COS<p\
I / I cosçX d^cos[Vfii) dp, dpt
+ sin»9 4:<:' \Ui "^ TÏV"; ~ dp, dp, d^, d^, '
{*) Analyse infinitésimale des courhes tracées sur une surface quelconque,
Il)"
DBS fiQVATIOilS AUX DIPPtBBHCKS PÀBT1BLLE8 DBS GO0BB0BB8. 4^'
et aussi les deux nouvelles expressions de 0^,
UvV rf / I \ ^/i^\ I / I cos<p\
sin(v,/x)~6?or,l^Li«)j"^rf<7.\^Ll:7'^sincpL^ i-- /
I / I cosy\ d^{v, fi) rfpi rfp» slnçLÎTaALii Ui / fi^pirfpt ddtddt^
sin(v,p) - rfcr, \^L|:;7 "*" dcr, \L[l)) "^ sin^L;:; \i^». l-« /
272. Extension des formules précédentes. — Considérons la forme du binôme t)^.'. Si nous représentons par VJ^* le facteur de cos (v, [x) dans l'expression de ce binôme, nous aurons la relation n"" 267
t)j;,» = UvV*-f-vvcos(v,/x).
Gela posé, soit ^ une fonction quelconque de Tangle (v, /x) et soient ^' et ^^ les dérivées première et seconde de cette fonction par rapport à cet angle; on a identiquement, par suile des équations qui se déduisent de l'équation (X) du n"* 49, en faisant coïncider la direction X avec celle des arcs coordonnés, la relation suivante :
vj** tttr, d{v, u) Li:' dp, dp.
Y (itT,d{v,n] '^i' diT,d{v,u] Li,">rfp. rfp. ~L^l'dp, dp,
«i»' dtT,d(v, n) d(T,d<r,,„^,,
L<;> dp, dp, - dp, dp, '*' "-^ '
Si l'on multiplie les deux membres de l'équation (7 ) par 4*' et qu'on ajoute l'équation résultante et l'équation précédente, membre à membre, on obtient, réductions faites, l'équation suivante :
! d /d<r, »{;' \ d /da, <\>' \ d /d<T, <\i' \ \ dp' \dp< Lir j dp, [dp, LirV ~ '^P' W L^J
432 LIVBE 11. — SKCTIOR I. — CHAriTBE II.
Or, si Ton introduit l'angle auxiliaire e, de telle sorte que Ton
ait
rose • 6"
,fZ'
et que, pour abréger, on représente par k et i^ les deux faces opposées à la normale ir, de deux trièdres faciles à déterminer, ayant un angle commun e suivant cette normale, le second membre de l'équation (6)'' prendra, en opérantcomroe au n* 367, la forme suivante :
rfo-i da, ^' l cosa cosi' \
Cette équation est générale, puisqu'elle renferme, comme cas particuliers, la formule (6]' qui correspond à la valeur de ^ égale à cos (v, /x), et la formule (7] qui correspond à la valeur de ^ égale à l'angle (v, fx) et une inGnité d'autres provenant des formes particulières données a la fonction d;; or chacune de ces formes, à cause de l'indétermination des directions V et yiy contient la solution du problème des coordonnées curvilignes, comme nous allons l'établir pour les deux formes spéciales suivantes :
4;z=cos(v, fx) et ^=z[v,il].
Il est important de dire que la formule (6)*" donne la double formule correspondant à la double formule (6)'^ du n*" 270. Ces deux formules sont les suivantes :
dp\dp, Li;)J ^ dp, \dp, U^^) dp, dp,
__ d(T, d(7i ^' / rOSM COSf \
~" dp, dp, biii(v, y.) \Alvi41^2 <.v»-C\'/
dp, [dp, L^;j) ^ dp, \dp^ Ll^)) dp, dp,
d(j, d<T2 ^' / cosn rosi^ \
"^ dp, dp2 sin ( V, /x ) \^vi ^^7 41*» -Cjti / '
elle donne aussi les formules analogues aux formules (lo),
