DBS ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DBS COURBURES

Nous avions déjà montré que ces formes générales convenaient à l'équation fondamentale de la théorie des lignes tracées sur une surface (*), équation qui est Tune de celles que fournit la théorie des coordonnées curvilignes, mais on voit de plus que ces formes appartiennent aussi à toutes les autres équations aux différences partielles de cette théorie. On voit encore que les différentes transformations que nous avons développées dans V Analyse des courbes appartiennent aussi à chacune des équations aux différences partielles de la théorie des coordonnées curvilignes.

§ II. — Solution du problème des coordonnées curvilignes.

Le problème des coordonnées curvilignes consiste à établir les équations aux différences partielles de certaines grandeurs, tellement liées avec les surfaces coordonnées que, lorsque ces grandeurs sont déterminées, le système des surfaces coor» données se trouve par cela même déterminé.

273. Première solution, du problème. — Dans celte solution les grandeurs entre lesquelles il faut établir les équations aux dérivées partielles sont les composantes obliques, suivant les trois arcs coordonnés, des courbures inclinées de ces arcs suivant leurs tangentes. Nous n'avons pas distingué entre les courbures propres et les courbures inclinées d'un arc, parce que la courbure propre de cet arc n'est autre chose que sa courbure inclinée suivant les tangentes de cet arc. D'après cela, chaque arc aura trois courbures inclinées; et, comme chaque courbure inclinée a trois composantes obliques suivant lesarcs coordonnés, les grandeurs introduites dans la question pour en donner la solution sont au nombre de vingt-sept. Ces grandeurs se lient avec les trois paramètres différentiels du premier ordre des arcs coordonnés et les cosinus des angles que ces arcs forment entre eux. Le problème des coordonnées curvilignes consiste donc à trouver les relations qui

( ' ) Voir notre Analyse infinitésimale des courbei tracées et notre Théorie des coordonnées cur^itignes,