LITRE II. — SICTION I. — CHAPITRE II

existent entre les trente-trois quantités dont nous venons de parler.Ces relations s'obtiennent avec une simplicité inespérée, par suite de l'introduction de la courbure inclinée.

I® Neuf relations proviennent de ce que la projection de la courbure inclinée d'un arc quelconque sur la tangente suivant laquelle cette courbure est inclinée est nulle, cette tangente et la courbure inclinée se coupant à angles droits; ce sont les neuf équations contenues dans le type

I coso coso,

•ai *2 1 *3 1

2? Trois relations proviennent de ce que les composantes obliques, suivant un arc, des courbures inclinées des deux autres arcs suivant les arcs réciproques sont -égales :• ce sont les'équations (24) du Cbapitre l'^

3^ Neuf relations sont fournies par les variations suivant les trois paramètres de chacun des angles coordonnés. Ce sont les neuf équations (17)" du Chapitre P% dans lesquelles il faut exprimer les courbures tangentielles en fonction des composantes obliques de ces courbures, formules (i5j du Chapitre !•'.

4° Enfin les neuf équations les plus importantes sont fournies par les doubles variations des cosinus des angles qu'un arc coordonné fait avec une ligne fixe. Ce sont les équations aux différences partielles (5), lorsque dans chacun des trois groupes on fait coïncider successivement la direction v avec dq, dfftf ddiy ce qui revient à remplacer successivement y par o, I, 2.

Ces équations sont au nombre de vingt-sept ; mais elles se réduisent à neuf vraiment distinctes.

C'est la solution que nous avons donnée, le premier, du problème des coordonnées curvilignes quelconques, laquelle date de^i862(']. Elle repose sur la conception de la courbure inclinée qui se prêle facilement au calcul, fournit presque intuitivement les relations dont on a besoin, et enfin est susceptible

( * ) Comptes rendus hebdomadaires des séances de l 'Académie des Sciences; Paris, i86a.