SES. ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES DBS COURBURES

d'une notation parlante, comme cela devient nécessaire dans un problème si compliqué.

274. Seconde solution du problème. — Notre analyse actuelle contient unenouvelle solution du problème, qu'il nous paraît utile de signaler, parce qu'elle résulte de l'application d'un théorème unique démontré dans le n"* 266. Quelles sont les grandeurs introduites dans cette seconde solution pour déterminer le système ? Ce sont les projections orthogonales des neuf courbures inclinées des arcs coordonnés sur les arcs; ou, en d'autres termes, les composantes orthogonales des courbures suivant les arcs coordonnés :

i** Comme la projection d'une courbure inclinée sur la tangente à un arc suivant laquelle elle est inclinée est nulle, le nombre des composantes orthogonales des courbures n'est plus que de dix-huit.

!2<» Les trois relations provenant de ce que les composantes obliques suivant un arc des courbures inclinées des deux autresarcssuivantleurs tangentes réciproques sont égales, s'obtiennent directement au moyen des équations (^4)' du Chapitre I".

3® Les relations au nombre de neuf provenant de la variation des cosinus des angles coordonnés suivant les trois paramètres sont données directement par l'introduction des courbures inclinées dans cette variation, formule (17) du n<^252.

4"* Enfin les relations aux différences partielles de ces composantes orthogonales sont données par l'unique équation (6)', qui s'applique aux trois plans tangents, et dans chacun d'eux aux différentes valeurs que l'on obtient en faisant successivement V et fx égales à o, i, 2 ; ce qui fournit en tout vingt-sept équations équivalentes aux vingt-sept équations trouvées dans la première solution.

275. Du rôle des facteurs binômes. — Certainement ce n'est pas un petit avantage offert par un théorème que de faire dépendre d'une seule relation géométrique des équations qui se produisent au point de vue analytique sous des allures distinctes et pour lesquelles il fallait des calculs différents; mais ici il y a un second avantage qui se présente forcément par

436 LIYRB II. — SECTIOH I. — CHAPITRE II.

rapplicaUon du théorème : c'est que l'opérateur est éclairé sur celles des équations qu'il doit conserver et sur celles qu'il doit rejeter, soit parce qu'elles sont des identités^ soit parce qu'elles sont des conséquences d'autres équations du système. En effety le binôme du second membre que nous avons représenté par XDl^ devient identiquement nul, lorsque les indices inférieurs v, [i deviennent les mêmes, et alors les deux premiers termes du premier membre de l'équation {&)' sont aussi individuellement nuls; ce cas se présente neuf fois. Ce binôme ne fait que changer de signe lorsque les indices y et fx prennent réciproquement la place l'un de l'autre, et alors on voit, par suite de l'équation ( 1 7 ) du n"" 252, que les premiers membres de Téquation (6)' sont égaux et de signes contraires. Cela réduit à neuf les vingt-sept équations contenues dans la formule (6)'.

D'après nos notations, nous pouvons écrire sous la forme suivante les trois équations qui se rapportent à la surface p:

Il est bon de remarquer : i^ que les deux secondes se déduisent de la première par la rotation des indices variables, qui sont, dans le second membre, les indices inférieurs de t) et, dans le premier, les indices supérieurs et le premier indice inférieur des arcs de contingence inclinée ; 2^ que les deux groupes d'équations relatives aux surfaces pi et p, se déduisent du groupe précédent en soumettant les autres indices à la permutation tournante.

Si, dans les équations (12), on exprime les arcs de contingence en fonction des courbures correspondantes et qu'on élimine les variations des arcs coordonnés au moyen des équations (9), on obtiendra le système d'équations correspondant aux équations (12] et dans lesquelles il n'entrera que les variations des composantes orthogonales des courbures. On déduirait directement ce groupe d'équations des équations (10)'', en donnant à fx et à v les valeurs successives o, i; i, 2; 2, o qui proviennent de la permutation tournante des indices.

DBS fiQUATIONS AUX DirPfiRBNGIS PARTIELLES DBS COURBURES. 437

276. Calcul dei fadeurs 10. — Il ne reste plus qu'à obtenir les binômes tD^i» tDll^..., en fonction des compo* santés normales des courbures inclinées ; or le premier terme

de ce binôme exprime le produit de la courbure -7- par la

projection de la courbure -3— sur la direction de la première.

•Cl»

Cette projection est égale à la somme des projections des composantes obliques de la seconde sur la direction de la première; on aura donc

cos (4^.„ <. Il) V ^^s (CCH» ^^)

•C»«. -C" ^ Ce»»] *c»2i

le signe 1 s'étendant à toutes les valeurs que prend l'expression placée sous ce signe lorsque Ton fait subir à tous les indices non compris entre crochets [ ] la permutation tournante. Maintenant, si l'on exprime les composantes obliques contenues dans le second membre en fonction des composantes orthogonales de la même courbure au moyen des formules (i6j' du Chapitre P% et qu'ensuite on opère d'une manière analogue sur le second terme du binôme t)^^, on aura, en conservant à A* la signification que nous lui avons donnée au n** 251, le système d'équation compris dans le type suivant :

A-'t)- - Sin'cp (-TTT^jTTTT - J-cT.Vm) 1

= >(f^)— iTR) TTm—jrm- jsinçisincpacos^.

Les valeurs des autres binômes se déduiront du précédent par la permutation tournante de tous les indices variables qui sont les indices supérieurs des courbures et les premiers indices inférieurs. Les valeurs des binômes relatifs aux surfaces pi et ps se déduisent du groupe précédent par la permutation tournante des autres indices.

2T7. Troisième solution du problème. — Les équations aux différences partielles, qui se rapportent à cette solution, sont les équations qui sont fournies par le théorème du n^ 2^7,

438 LIVHB II. — SBCTION I. — OBAPITRB II.

lorsqu'on suppose que les directions v ei fx coïncident avec les tangentes de deux arcs coordonnés ; cela revient à donner dans l'équation (7) à y et /x les valeurs o, i, 2. On obtient ainsi pour chacune des surfaces coordonnées neuf équations. Il est facile de voir que le nombre se réduit à trois pour chaque surface par un raisonnement analogue à celui qui vient d'être fait au n"" 275; car les binômes provenant du binôme V^i^, lorsqu'on donne à v età^ les valeurs o, i, 2, jouissent des mêmes propriétés que les binômes qui se déduisent de t)^S' et les premiers membres des équations (7] et (6)' jouissent aussi, pour les mêmes valeurs, de propriétés identiques. Les équations qui se rapportent à la surface p sont les suivantes :

( .4 ) { rf. J?,' - rf. J-,V = d, J\'l - rf, J"V = ^^ V\l,\ (3)

dont le mode de formation est analogue au mode de formation des équations (12). Si Ton remarque que, lorsque les directions V et /x coïncident avec celles de deux arcs coordonnés, la direction 77 perpendiculaire à v et à fx devient celle de la normale à la surface qui contient ces deux arcs, les valeurs des facteurs binômes des équations précédentes sont données par les relations

TJ.2^ ' '

(liM / V— '

V T^ / \ '-'la .j (n)

ÎTI 7

2 0 y{jity [ft) y [j't ) P ("t ) *

lesquelles se déduisent les unes des autres par la rotation des indices inférieurs du premier membre et la rotation simultanée des indices supérieurs et des premiers indices inférieurs des courbures du second membre.

PBS ÉQUATIONS AUX DIFFfiEBNGBS PARTIELLES DES COURBURES. 4^9

278. Composition des équations précédentes. — La composition des équations (i4) mérite de fixer un instant notre attention.

i<* Ces neuf équations se partagent en trois groupes se rapportant chacun à chacune des surfaces coordonnées, ei chaque groupe ne contient que les courbures inclinées des arcs qui sont contenus sur la surface propre à ce groupe.

!2<* Dans chaque équation du groupe, il n'entre que les courbures inclinées de ces deux arcs suivant les deux côtés de Tun des trois angles coordonnés; dans le premier membre, ce sont les projections de ces courbures sur le plan de cet angle; dans le second, les projections de ces courbures sur la normale à ce plan.

S** Le premier membre de l'équation est égal à la différence des variations, par rapport aux paramètres réciproques^ des deux composantes tangentielles des deux arcs de contingence inclinée des deux lignes coordonnées suivant une même direction; le second membre est égal au quotient que Ton obtient en divisant la différence des produits binaires des projections normales des arcs de contingence inclinée des deux lignes suivant deux directions différentes par le sinus de Tangle de ces deux directions.

4"* Une des équations du groupe, celle qui contient les courbures inclinées de deux lignes coordonnées suivant ces deux lignes, est remarquable en ce sens que son second membre est égal à la courbure de la surface propre à ce groupe; car, dans ce cas, le binôme \i\\ est égal au produit du carré du sinus de Tangle des lignes coordonnées par la courbure de la surface (*]. Cette équation est Téquation deGauss sur la variation des arcs de contingence géodésique des lignes coordonnées, mais sous une forme plus simple ('].

5^ Chacune des équations aux différences partielles est susceptible de prendre quatre formes différentes également simples et qui se déduisent sans difficulté des quatre formes

( ' ) Voir la seconde Partie des Coordonnées curvilignes^ n® 27. (*) Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une surf ace quelconque, Chap. III.

44o LIVRB If. — SECTION I. — GHÀPIT&B II.

SOUS lesquelles nous avons présenté l'équation (7) du n^ 270. Si, dans les équations (14)9 on substitue aux variations des arcs coordonnés leurs valeurs données par les équations (23) du n^^&S, on obtiendra le système d'équations correspondant aux équations (n)'» [iiY\ et chacune des équations ainsi obtenues pourra s'écrire sous quatre formes différentes, n** 270.

279, Remarque sur la forme des équatioris précédentes. — Comme nous l'avons établi dans notre Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelconque^ le théorème 4e Gauss sur la somme des angles d'un polygone géodésique quelconque est un des deux principes qui servent à établir les équations différentielles des courbes tracées slir une surface, et ce principe fécond est la conséquence immédiate de l'équation due à ce géomètre sur la somme des variations des angles de contingence géodésique des lignes coordonnées tracées sur la surface; or cette équation assez complexe entre dans l'ordonnance de la formule (7) par suite de l'introduction de la courbure inclinée; c'est la seconde des équations (i4)f qui est la transformée la plus simple de l'équation de Gauss.

Lorsqu'on veut résoudre le problème des surfaces applicables sur une surface donnée sans duplicaiure et sans déchirure, on parvient, par une analyse propre, à établir deux formules très-compliquées qui, jointes à l'équation de Gauss, donnent les équations aux différences partielles du problème. La première et la troisième équation (i4) sont les formes les plus simples de ces deux formules, qui, par conséquent, entrent aussi dans l'ordonnance de notre équation (7).

Ces deux questions, essentiellement distinctes, qui ont été séparément résolues par les géomètres, ont donc un lien commun qui les rattache à un seul principe géométrique, puisque l'application du théorème du n® 267 donne la mise en équation des conditions de ces deux problèmes. On peut même dire que, dans l'un et l'autre de ces deux cas, c'est la même équation; or ce lien commun, qu'il était important de signaler, c'est la courbure inclinée qui le met en évidence en lui donnant la forme la plus simple.

Ainsi il résulte de ce que nous venons d'établir dans les

DBS fiQUATIOHS kVX DlPFÊRBlfCBS PARTIELLES DES COURBURES. 44 ■

numéros précédents que non-seulement la solution du problème des coordonnées curvilignes contient la solution du problème des lignes tracées sur une surface quelconque et celle du problème des surfaces applicables, comme nous l'avons établi d'une autre manière dans notre II* Partie des Coordonnées curvilignes, n^ 35, mais que toutes les équations de ces trois problèmes sont condensées en une seule et même équation» qui est ou l'équation (6)' ou Téquation (7]. Ainsi se trouve justifiée l'assertion que nous avons faite à la fin du n«» 267.

Si, dans ces trois problèmes, on n'avait pas introduit l'élément nouveau de la courbure inclinée, ces équations aux différences partielles qui donnent la solution de ces problèmes se seraient chargées de termes nombreux et compliqués, et il eût été difficile de découvrir la forme unique de la formule qui donne à la fois l'équation des lignes tracées sur une surface, les trois équations des surfaces applicables et les neuf équations des coordonnées curvilignes quelconques, et en même temps de traiter les trois équations par une seule et même analyse.

280. Relations entre les variations des composantes de la flexion d'une surface. — La flexion de la surface suivant une direction est un élément important de la géométrie des surfaces; nous avons déjà montré par quelles relations simples il se trouve lié avec les courbures inclinées des arcs coor* donnés; il est utile de connaître aussi les relations qui lient entre elles les variations de cet élément suivant deux directions; or ces relations se déduisent d'une manière non moins aisée des formules que nous avons établies et sont aussi contenues dans le théorème général que nous avons établi dans le n« 266.

Cherchons, en premier lieu, les relations qui existent entre les composantes obliques de la flexion de la surface. Si, dans les formules (5j, nous supposons que la direction v coïncide avec la normale n à la surface p, et si l'on remarque que les composantes obliques suivant la direction Jo- des flexions