BBS ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PABTIBLLES DES COURBURES
II existe, pour chacune des deux autres surfaces pi et p», des équations semblables à celles des groupes (i5) et (i6), et qui se déduisent des six équations de chacune de ces séries^ en remplaçant successivement n par n, et /t,.
On aurait un système d'équations équivalent au précédent, en faisant usage des équations (6), dans lesquelles on remplacerait la direction v par celle de la normale n; ou bien encore en faisant usage des équations (7), dans lesquelles la direction v serait celle de la normale n, tandis que la direction |u coïnciderait successivement avec celle de chacun des arcs coordonnés. Il est inutile de remarquer que chacune des équations de-ces deux systèmes serait susceptible de prendre quatre formes principales correspondant aux formes données par les formules (6)^, (7)'.
281. Nouvelle solution du problème des coordonnées. — Il résulte de ce que nous venons d'établir qu'on a une nouvelle méthode pour résoudre le problème des coordonnées curvilignes, qui dépend alors des composantes des flexions des trois surfaces, et qu'il existe une triple variété de solutions, suivant que ces composantes sont les composantes obliques, ou les composantes orthogonales des flexions des surfaces, ou enfin les cQmposantes tangentielles.
Supposons, par exemple, que Ton fasse choix des composantes obliques des flexions des surfaces pour déterminer le système coordonné; chaque surface ayant deux flexions, chacune suivant l'un des deux arcs coordonnés, et chaque flexion n'ayant que deux composantes obliques, on a ainsi douze quantités auxquelles s'ajoutent les courbures des trois arcs coordonnés suivant les normales à la surface correspondante; or ces courbures ont seulement deux composantes obliques, la troisième composante étant nulle : il résulte de là que l'on a une somme de dix-huit composantes obliques auxquelles il faut ajouter les trois cosinus des angles coordonnés et les paramètres différentiels du premier ordre. Les relations qui existent entre ces grandeurs sont :
1® Les trois groupes d'équations aux différences partielles contenues dans le type (i5) ou dans le type (16), qui se ré-
444 LIY&E II. — SECTION I. — CBAP. 11. — DBS ÊQUATIOMS, BTC«
duisent à neuf. Chacune de ces équations peut être ainsi pré< parée, qu'elle ne dépend que des composantes obliques des flexions des surfaces et de la courbure des arcs coordonnés suivant la normale à la surface correspondante, puisque les équations (i5j et (i6)' du Chapitre l" permettent d'exprimer les composantes obliques des courbures inclinées des arcs coordonnés en fonction des composantes obliques des flexions des surfaces et de la courbure des arcs suivant la normale à la surface correspondante.
1^ Trois relations proviennent de ce que les composantes obliques, suivant un arc, des courbures inclinées des deux autres arcs suivant les arcs réciproques sont égales. En effet, il résulte de ce théorème que l'on a l'équation
laquelle donne les relations suivantes au nombre de trois :
j cos9^J cos9^
\* J I i(i) ^^ Aï) — KJ) ^^ /o) \r }
*/ii */ii '/Il '/Il
3® Neuf relations sont fournies par les variations suivant les trois arcs coordonnés des angles que les surfaces coordonnées font entre elles.
Ces relations sont donc en nombre suffisant pour déterminer les quantités dont dépend le problème des coordonnées.
Il y aurait à considérer le cas où, dans la formule (6)' et dans la formule (7), on fait coïncider les directions v etfjiavec celles des deux normales aux surfaces coordonnées ; on trouverait une nouvelle catégorie de formules qui donneraient naissance à des considérations analogues à celles que nous venons de développer.
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