LIVRE II. — SECTION I. — CHÀPITBB III

Calcul des paramètres différentiels, — La première chose qu'il y aura à faire pour l'emploi d'un système coordonné sera de calculer ces six paramètres. Ce calcul peut être fait de deux manières, ou bien directement, ou bien par voie de transformation.

Le calcul direct des paramètres est le plus simple : il se fait géométriquement par la connaissance de la déOnition des lignes coordonnées. Donnons quelques exemples de ce calcul.

§ L — Calcul direct.

283. Systèmes de révolution. Méthode générale, — Soli le système (p, pi) de deux coordonnées planes; ce système donne les relations

J(7 = Hrfp, rf(7, — Hi rfp,, HH, cos [dd, ddx ) := GJ .

On mènera une droite dans le plan, et l'on calculera la distance du point [p, Pi) à cette ligne: cette distance sera une fonction Ha de ces coordonnées. Maintenant supposons que le plan tourne autour de la droite comme axe, le système de coordonnées planesengendrera un système de coordonnées curvilignes de révolution, et si l'on appelle pa l'angle flni décrit par ce plan compté à partir de l'origine, Hs^pi sera l'arc infiniment petit décrit par le point, et l'on aura les nouvelles relations

rfo-j =ir Hî rfpj, Gi = o, G = o ;

on connaît donc tous les paramètres du système de révolution.

Applications. — i° Système biangulaire de révolution. — Considérons le système coordonné dans lequel les surfaces de la première série (p) et de la deuxième série (pi) sont des cônes circulaires de même axe FF,, les surfaces de la première série ayant un sommet commun en F, et celles de la seconde ayant un sommet commun en Fi; les surfaces de la troisième série (pi) sont des plans passant par l'axe FF,.

Soient p et pt les angles intérieurs que les génératrices d'un des cônes de la première série et d'un des cônes de la

DES PÀRAMÈTEB9 DIFFÉRBlfTIELS. 44?

deuxième font avec l'axe. Soient FFi = 2a, r et n les rayons vecteurs correspondants issus des sommets de ces cônes jusqu'au point A que l'on considère, pi l'angle que le plan FFi A de la série (p>) fait avec un plan fixe de cette série. On trouvera par un déplacement du point qu'on considère, de A en Ai, les relations suivantes [Analyse des courbes planes y p. 383] :

rfo- = rrfp sîn (p -4- pi), rf(7,=:rirfp,sin(p-hp,),

rfo'8= — rfpasin (p-4-p,).