LIVRE II. — SBCTION I. — CHAPITRE III

flnalement» on a les expressions suivantes :

, mdr , rrxdri , , ,

dd = r-9 q<Tt = #-♦ oTi = nart ;

2,an aan

Aa^ r" r'

cos (d(Tf d(Tx) == -i cos (rf<r„ rfo-j) = o,

C0s(ûf(73, rfc) = o;

de sorte que les paramètres linéaires et angulaires s'en déduisent immédiatement.

3^ Système sphéro-conique de réi^olution» — Dans ce système, les surfaces de la première série sont des sphères de rayon r jyant leur centre commun en F ; la deuxième série de surfaces se compose de cônes ayant, leur sommet commun en F,, pour axe commun la droite Fi F et pour paramètre variable l'angle pi que la droite Fi fait avec le prolongement de la droite FFi; les surfaces de la troisième série sont des plans formant un angle ps avec un des plans de la série. Si l'on conserve la notation du n** 283, on aura sans difficulté

, rdr j f 2arcospi \ ,

df7~- , =1 0(7, =( r ; 7 - '-^^ \d^**

y/r» — 4a2sin'p. \ v^r» — 4a»sin*p,/

rfa, = sinpi (2acospi lii v^r' — 4«*sin'p,) dp,;

sin (cf(7, rfo-,) = - V'^ — 4û'sin'p,, cos(rf(T„ do-,) = o,

cos(do's, dfj] = o.

4* Système polaire. — Le système précédent contient, comme cas particulier, le système de coordonnées polaires, puisqu'il suffit de faire coïncider les deux points F et F,, ce qui exige que a sojt nul. On obtient ainsi

de ^ rfr, dix = rdpt, rfo-, = rsinp, dp, ; quant aux angles coordonnés, ils deviennent tous droits.

285. Systèmes cylindriques. Méthode générale. — Soit toujours le même système de coordonnées planes; menons dans le plan une droite XXi, on connaîtra les cosinus des angles que les arcs coordonnés do-, do-| (ont avec cette droite, les-

DBS PARAMÈTRK8 DIFFÉRENTIELS. 449

quels cosinus sont des fonctions de p et pi. Si maintenant nous déplaçons tout le système parallèlement à lui-même suivant une direction / formant un angle constant a avec sa projection sur le plan des coordonnées, on peut admettre que celte droite se projette surXXi; on aura donc, en appelant </ps le déplacement effectué suivant /, et x la direction XXi, les trois relations suivantes, qui donnent les trois nouveaux paramètres :

rfo^î = d^-i^ cos ( dfjxy d^^ = cos (jr, rfo-,) cosa, cos (rf<r, rfo-a) =:. COS (j?, rfo") cosa.

Système polaire cylindrique. — Dans ce système, les surfaces de la première série sont des cylindres circulaires ayant leur axe infîni commun, le rayon d'une section perpendiculaire étant le paramètre variable p; les surfaces de la seconde série sont des plans parallèles entre eux, perpendiculaires à Taxe du cylindre et à une distance pi d'un des plans Qxes de cette série; les surfaces de la troisième série sont des plans passant par Taxe des cylindres et formant un angle pa avec un des plans fixe de cette série ; les paramètres variables des surfaces de ce système sont donc p, pi, p,. On obtient sans difficulté les trois relations

da = dp, d(Tx = rfpi, d<Ti ^ pdpt. Ce système est orthogonal.

§ II. — Calcul par transformation.

285. Première méthode. — Les équations des surfaces coordonnées sont

f(x,y,z)^p, fAx,y,z):=p,, /a>,;-,2)=zp,;

si l'on résout ces équations par rapport à se, y, 2, on aura les trois relations

:r=rF(p, p„p,), .^ = F, (p, p„p,), z = F,(p, p„ p,). Le paramètre p variant seul le long de la courbe e/o-, on

45o LIVRE II. -— SBCTIOIf I. — GHAPITBB III.

aura l'équation suivante, qui contient trois équations,

et les cosinus des angles 9, 9., 92 des arcs coordonnés seront donnés par l'équation

rfo-, rfo-, dxt dxi dxt dxi dz^ dzt ^, .,

dp, dp, ^ dpi dp2 dpi dpt dpx dp^

qui contient aussi trois équations. On connaîtra donc les paramètres linéaires H et les paramètres angulaires G.

Deuxième méthode. — La même question peut aussi être résolue sans que l'on soit obligé de dégager les valeurs de x^ y^ z des fonctions p, pi, p,. On fera usage des équations (2) et (3 ' du Chapitre I*'; et, si Ton pose le second membre de l'équation (3) égal à g\^ on aura les deux types suivants contenant chacun trois équations :

mais, si l'on fait usage de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique

COSÔ, COSÔa — COS0

-' — Is — : — 7, = COSO,

sindisind, on a

cos 9 = -; S\S\zzJhÉ^ ^ G». ( 3

' ^' ' " " "er

D'une autre part, les formules (5) ei (5)' du Chapitre 1 donnent

— -^ = cos n, /, = sln9,sin5' = sinOsSin9,

on a le produit

sin'0,sm*0jSin*9=: ■ — - — 2JL-I — ■^' ' ^ fi fej&i,

qui reste invariable pendant la rotation des Indices; si nous

DES PABAMfeTRES DIFPÉRKNTIKI.S. 4^1

représentons le numérateur par «OKS on a finalement

= sin'(?iSin'o =

//,COS{/l,./,) OXL^

Ainsi) par ces formules, on connaît les paramètres H, H., H,, et les paramètres G, Gt, G, en fonction des paramètres h, Ai, lu

et g^ giy g^'

Question inverse. — Elle se traite de la même manière, et l'on obtient les deux équations, ^l> étant une auxiliaire,

«os 0 =r -, .^^'^ ^A- — -^g\ ( 3 )

GJGÎ-JI'G'

v(inH^^=iïyîrïOîï'--G«)

,x«=H^H;ii;-(.;Hi-GjHî-Gai'-+-2G^G;G;,

H,cosf/ii,/,i Kï^

au moyen desquelles on calculera les paramètres h q\ g en fonction des H et G, ainsi que le produit,

sin*<p,sin'9isin*9

H'H?h;-g*h— g:h^ -g;h^3-i-9G'G|g; or/

286, Distinction des deux directions d*une normale à une surface. — L'équation /(:c,j,z)r=p d'une surface exprimant par voie d'égalité une relation entre les coordonnées d'un point quelconque de la surface et une ou plusieurs grandeurs géométriques» il en résulte que cette surface partage l'espace en deux régions» telles que, pour un point de ces régions,, la relation ne peut être satisfaite, par excès pour Tune, par défaut pour l'autre; de sorte que l'on a

suivant qu'il s'agit d'un point situé dans la première région,

4^2 LITBB II. — SECTION I. — CBAPITIIK III.

OU sur la surface, ou dans la seconde région ; cela étant» c'est la première région qui est appelée extérieure et la seconde intérieure. Si nous convenons de compter les normales à partir de la surface vers la région extérieure, en représentant par n cette normale infiniment petite, les coordonnées du pied étant X, j, Zy celles de son extrémité seront

j7-h ncos(n, x), y-^ iicos(», j^), a -i-ncos(n, ^).

Le résultat de la substitution dans l'équation de la surface étant positif, on aura, en négligeant les innniment petits d'ordre supérieur au premier,

n -^cos{n,x) -4- -^ cos (/»,/) 4- ^cos(/i, aj 1 > o ;

donc, en y remplaçant les cosinus par leurs valeurs v , t jr^^

dp 7-7- > on aura

donc le radical h doit être pris avec le signe +•

Donc, suivant qu'il s'agit d'une normale extérieure ou intérieure, il faudra prendre h avec le signe h- ou — .

287. Systèmes elliptiques. — Coordonnées elliptiques, — Dans ce système, un point quelconque de l'espace est déterminé par l'intersection de trois surfaces du second degré homofocales : ellipsoïdes, hyperboloïdes à une nappe, hyperboloïde à deux nappes. Soit l'équation de l'ellipsoïde en coordonnées rectangles

jt' 7' z^

si l'on donne au paramètre A toutes les valeurs supérieures à 6 et c restant constants, on aura une série d'ellipsoïdes. Si l'on représente l'équation de l'ellipsoïde par F (X), et que X, /x, v soient les trois demi-axes de même direction dans les trois espèces de surfaces, et dans chacune d'elles 6 et c les demidistances focales des deux sections principales, majeure et

DES PARAHÈTRBS DIFFÉREMTIKLS. 4^3

moyenne, avec les conditions

lessymbolesF(|x),F(v) repésenieront les deux hyperboloTdes. Or, ces trois équations étant du troisième degré en X% |x% v' et composées de la même manière par rapport aux coefficients, il en résulte que les trois racines de chacune d'elles sont les valeurs de X% /tx^ v% correspondant à un système de valeurs x^y* z; on a donc les trois équations suivantes, qui résultent des relations qui existent entre les coefficients et les racines d'une équation du troisième degré i

desquelles on déduit

bcx = )./jLv,

b ^c^ — b^x = v^(X»— 6') (fx»— ft') (6'— V»), c )fà^~b^z z=z v/(X'— c»)(c^ -|x')(<?'— y).

Si Ton prend les différentielles logarithmiques de ces équations par rapport aux variables X, ^ly v, on obtiendra les équations suivantes :

dx d\ dix dv

X A yL V

dy Tidk [xdfx v*rfv

€/z Xc/X udfjL vdv

Or, si Ton élève au carré les valeurs de dx, dy, dz et qu'on ajoute membre à membre, on aura l'expression suivante du déplacement infiniment petit du point [x, y, z),

4^4 LIVRE 11. — SECTION L. > — CttAriTaS III.

On conclut de cette expression que les quantités H', H^, IIJ sont les facteurs de dk\ rf/x% rfv»; et, comme les doubles produits des variations dk^ du, dv n'entrent pas dans le second membre, on en déduit que les arcs coordonnés dny da^ ddz se coupent orthogonalement, et, par conséquent, que le système est orthogonal.

288. Système elliptique cylindrique. — Dans ce système, la première série des surfaces se compose de plans parallèles, et le paramètre variable est la distance p de l'un quelconque de ces plans à un plan fixe de la série; la deuxième et la troisième série sont des cylindres elliptiques et hyperboliques homofocaux dont l'axe infini est perpendiculaire au plan lixe. On déduit facilement les paramètres différentiels de ce système des équations précédentes. En effet, si Ton fait dans les équations F (X), F( a , Fjv), X = ao,on tombe sur les deux cylindres :

qui donnent

et les valeurs des trois paramètres se déduisent des valeurs de H, H„ Hs du numéro précédent, en y introduisant les hypothèses précédentes. En effet, en posant Ti^zic-^ p^ et en faisant converger c vers l'infini, on trouve ainsi

d'ailleurs le système est triplement orthogonal.

Système elliptique de révolution. — C'est le système que l'on obtient en faisant tourner autour du grand axe un système elliptique plan et en faisant passer par l'axe de révolution une série de plans formant, avec un plan fixe de cette série,

DBS PAHAHlSTRBS DIFFftRBNTIBLS. 4^5

un angle p, qui est le paramètre variable; on obtient ainsi

,,^^l^-i'2ll'-tl,,. rf. = ..y^

dcTi :— dv

Si l'on fait tourner le système autour du petit axe, les deux derniers paramètres Hi, Ha ne sont pas changés et H devient

égal à ^•

289. Coordonnées paraboliques. — Dans ce système, on a une triple série de paraboloîdes homofocaux : la première et la troisième série, composée de paraboloîdes elliptiques» et la deuxième composée de paraboloîdes hyperboliques. Ces trois séries sont données par les équations, dans lesquelles les paramètres variables sont >, fx, v,

h zz^Afx-hv),

avec les conditions

00>C>/JL>O>V>— 00.

On tire de ces équations, en opérant comme au n*" 287 ,

que Ton peut aussi déduire des équations du n® 287, en portant l'origine au foyer négatif situé sur le plan des xy\ en