LIVRE il. — 8BCII0N I. — ClUiMTRB III
Le triangle MAF donne
cos£ — cosacosp -h sinasinpcosw, el le triangle MF, F donne
cosp, =z cosp sinaa — sinp cos2a cosw; si Ton élimine o entre ces deux équations, on trouve cosi cosaa = cos« cosp — sina cosp,.
D'après cela, si Ton appelle i., i, les angles MB, MC, en
Fig. 38.
remarquant que cos*/, = i — cos»i — cos»/,, on aura les trois équations
COSi= -> cos/, = — , cos/i=-, I I I
/ :rcos2a rz: cosa cosp -— sîna cospi,
(i) < jr cosaa — cosacosp, — sina cosp.
2C0S2a= v^cos'2a — cus^p — cos^p.H-asinaacospcosp,, desquelles on déduit
dxcos2x djrcos^a
dz C0S'2X
— cosasinprfp -f- sinasinp, rfp„ sinasinpâfp — cosa sinp, (/p„
sinpfrosp— sin7.arosp,)rfp-f-sinp,(cosp,— sîn?.acosprfp>
cos /'aCosaa
DBS PAftAMÈTnKS UIFFÊIIBMTIKLS. 4^9
On obtient pour les arcs coordonnés
f<y^' j ( sin'p(cos*2a — cos'p — cos'p, H- 2 sin2acospcosp,) I
r«'p* 1 -f sin*p(cosp — sinaacosp,)' (
cos'/3COS'2a
(cos'acos'2cx — cos'pi).
cos'Z2COS'2a
et Hnalement on a les trois paramètres (290)
d(3^ sinpsinp, ^
dp "" cos/îCOsaa ~~* '
dpx cosijCos2a
dc'dfîy ,ji sinp^inp, . . v ,,,
dpdpx ^ ' cos^2acos'i/ ^ ^ ^ «^
d'où
rosoroso, — sin2a
COSÇ -- '■ :-i — : »
^ sinpsinp,
que l'on déduit aussi directement du triangle FMF,.
Des deux premières équations (1) on déduit les coordonnées p et p, en fonction des projections du point M sur le plan xjr.
cosp, . cosp
= ^cosa — xsina, -^-^ = arcosa — r sina;
cos2a " cos2a
maintenant, si Ton appelle ps le rayon de la sphère qui est la troisième surface coordonnée (290), on aura les relations
qui définissent complètement le système composé de deux séries de cônes concentriques ayant des axes distincts 0F«, 0F„ et d'une série de sphères concentriques avec ces cônes.
292. Système biiangentieL — Il est composé de la double [fig. 39) série des plans tangents a deux cônes fixes concentriques et d'une série de sphères concentriques.
Conservons la notation précédente et prenons pour lignes coordonnées, sur une sphère de rayon égal à i, les tangentes
46o LIVRE 11. — S8CTI0N I. — CHAPITRE III.
T et Ti menées du point M situé sur la sphère à deux cercles fixes décrits de deux pôles fixes F et Fi, avec des ouvertures
de compas r et r, ; on a les deux équations
cosp, = cosTiCOsr,, cosp = cosTCOsr;
desquelles on déduit
siuptdpi = cosr, sinr^rfr,, slnpdp ~ cosrsinrrfr,
conséquemmenty on a
, sinTirfri j s'iïïT dz
api = cosr, — — , dp = cosr
V'i — COb'T, cosV, V^l — COS'TCOS'r
or nous avons trouvé
, ,, sin'psin'b, r,, ,, , . > . . i
cos^iCcos^L f^P "^ ^Pî -h 2 (cosp cosp. - sinaa) rfprfp.];
donc on obtient la relation cosiiCOsaa=vcos'2a— cosV,cos*Ti— cos'rcos'T-i-?.cosrcosr,cosTCosT,siu2a
et l'expression suivante du déplacement effectué sur la sphère en fonction des coordonnées t et Ti :
, ,j (i — cosVcos't) (i — COSVi COS'Ti)
cos'/tCos'aa
[cosViSin'r.rfrî cos'rsin'rrfr' I — cos'r, cos'r. i — cos'rcos'r
a(cosrcosriCOSTCOSTi — sin2g)cosrcosr,sinTSinTirf7rfTi"[
V' ( I — cosV, cos'Ti) ( I — cosV cos'r) J
DBS PARÀMfeTRBS DIPPÉRBNTIBLS. 4^1
Si l'on veut lier les coordonnées r et r. avec les coordonnées cartésiennes x^y^ Zy on aura
cos2acos«.:= ^cosaa =^ cosacosrcosT — sinacosr, costi, cos2acosi, = 7COS2a = cos«cosr,cosTi — sina cosrcosr, cos2acosi,= zcossa.
11 résulte de là que Ton a les relations suivantes, après avoir représenté par 6% Sî> ^îî les coefOcients de rfr', dx\y ndzdri, dans l'expression de ds'^
dd = paô rfr, rfff, — p,5, rfr,, rf(7a = dp^. G, = p, Ç,.
293. Système des développantes. — Soit une surface sur laquelle sont tracées les deux séries de lignes de courbure. On prend pour lignes coordonnées les deux séries de lignes parallèles aux lignes de courbure et la série de normales à la surface. Les surfaces coordonnées sont les deux séries de surfaces développables dont les lignes de courbure sont les développantes et la série de surfaces parallèles à la surface donnée.
Méthode analytique. — Soit la surface donnée par l'équation
frr-O,
et les lignes de courbure données par l'équation de la surface combinée avec chacune des équations
(i) p - const., p, rirconst. ;
les équations de la normale à la surface/, dont l'équation est supposée exprimée au moyen des variables p et pi, sont •
x' et ---, étant des fonctions de p et p., et pa étant la longueur de la normale.
462 LIVRB 11. — SBCTION I. — CHAPITRK III.
Si Ton différence l'équaiion (2)» on aura
D*après cela, les paramètres H et les piramètres G dans le système p, p„ pa seront représentés par les expressions suivantes :
, .r</^' ^d ( df \i df ^ r</^' rf / df w df
Méthode géométrique. — Soient R et R. les rayons principaux de courbure suivant Tare dtï et l'arc «/a, formés par le réseau des lignes de courbure de la surface/; les normales aux extrémités de Tare d& se rencontrent et sont coupées par Tare d(7y de sorte que ces deux arcs sont proportionnels à leurs rayons qui seront R et R -h p,; on a donc les trois relations
qui défmissent complètement le système qui est orthogonal.'
Application à Vellipsolde. — D'après les formules données
au h** 287, si l'on représente par V* Taire du parallélépipède
DES PARAHftTRBS BlPFfiRBNTIBLS. 4^3
des trois demi«axes de l'ellipsoïde p, on aura les formules suivantes :
rfc-, = =^ . ■ p'— i:^' ~, T Wf
§ III. — Éléments des lignes goordonnSes en fonction bks
