PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS
Nous avons déjà calculé les arcs et les angles des lignes coordonnées en fonction des paramètres différentiels du premier ordre, nous allons maintenant calculer les autres élé- Ynenls des lignes coordonnées en fonction des mêmes paramètres.
294. Folume déterminé par les surfaces coordonnées passant par deux points, — Soient les surfaces p(»>, p\*\ p!,"' passant par le premier point A(*>, et les surfaces p('\ p\", pV passant par le second point Â''^ ; ces six surfaces en se coupant déterminent un volume qu'il s'agit d'évaluer. Or l'expression V du volume élémentaire est
d\ ==: dd d(7x ddi cos n (/<7 si n ( rfd, rfo-, ) ,
d\ z= d7 d(Tx ddi sîn <pi sin 0, sin 9
=^ H Hi Hs sin 9 sin 91 sin 63 dp r/p. dp^;
conséquemment» si Ton Introduit l'auxiliaire X [285], on aura
rfV = X» rfp dpy dpiy
et, en intégrant entre limites, on obtiendra l'expression
rp''' r^»" r^V'
V= / dp I dp, dVdp,
Jç,^'^ Jp\'^ J^!;»
qui représentera le volume.
464 LIYRI^ 11. — SECTION I. — GBAPITRS III.
Si l'on représente par D une grandeur analogue à la densité el variant avec la position du point, et par P une grandeur analogue au poids du corps, on aura aussi
^pc) ^pV' /-^V»
P= 1 dp I dp, I D?G»rfp.
Jpi^) J^»;» Jp[*^
Expression des aires des surfaces limitant le corps. — Si nous représentons par
les aires des surfaces qui limitent le corps, les indices inférieurs indiquant la série des coordonnées sur laquelle chaque aire se trouve, on aura pour la série p les deux équations
^»i) ^«tn
•çozz: / rfp. / (/p,HV'HV'sin9(0,
et deux autres couples d'équations que Ton obtient par la rotation simultanée des indices.
295. Expression des courbures propres et des courbures inclinées.
I** Expression de la projection de la courbure propre d'un arc coordonné sur Vun des deux autres, — La première des formules (ai)' du n®257 donne
HH. d. (G\\ rf.
HH.^. /g;\ d.
<;i'.>'^rfpUJ"5p;i"*\
HH
les trois autres résultent de la rotation simultanée des indices, a** Expression de la courbure inclinée d'un des deux arcs conjugués en surface^ suivant le second y projetée sur le premier. — Les formules (22}' du même numéro donnent
m^rf^^^i^ çUI, HH,AH,^ rfjff.
