ÉLÉMENTS D'UNE TRAJECTOIRE DES COORDONNÉES CURVIUONES
Lorsqu'on rapporte une courbe à un système quelconque de coordonnées curvilignes, les divers éléments de la courbe s'expriment en fonction des éléments analogues des lignes coordonnées. Les expressions que l'on obtient, qui sont toujours symétriques, sont susceptibles d'une forme simple lorsqu'on introduit la courbure inclinée^ et alors elles constituent des théorèmes intéressants de Géométrie curviligne. Le but de ce Chapitre est d'exposer les principales de ces expressions, et de montrer que, dans cette théorie comme dans la théorie des lignes tracées sur une surface quelconque» la courbure inclinée est un des plus puissants éléments de démonstration et de condensation.
§ L — Formules GfiNftRALEs.
296. Équations de la courbe en coordonnées curvilignes. — Supposons qu'un point quelconque de l'espace soit déterminé par l'intersection de trois surfaces dont les équations dans le système rectiligne orthogonal sont
p, Pi, p3 étant des paramètres qui peuvent prendre toutes les valeurs possibles; à chaque point de l'espace correspondra un système de valeurs de p, pi, pa, de sorte que ce système représentera les coordonnées du point. Si les paramètres p, p,, p, sont des fonctions ^, ^i, ^3 d'une variable t, lorsque / variera d'une manière continue, les paramètres p, p., p, varieront
ÉLÉMENTS U'UNB TRAJECTOIRE DES COORDONNEES CUUYILIGNES. 4^7
d'une manière continue; donc le lieu des intersections de ces surfaces sera une courbe dont les équations dans le système de coordonnées dont il s'agit seront
si l'un des paramètres, p par exemple, est constant, la courbe sera située sur la surface p.
Supposons que les équations [i] soient résolues par rapport à x^Yy s, de telle sorte que l'on ait
(i)' a; = F(p,p„p,), jr = F,(p, p„p,), 2 = F,(p,p„p,);
en remplaçant dans ces équations p, p,, p^par leurs valeurs en fonction de / tirées des relations (2], on aura les trois équations de la courbe dans le système rectiligne orthogonal. Cette courbe sera plus spécialement appelée trajectoire, parce qu'elle traverse le système des coordonnées curvilignes.
297. De l'élément de la trajectoire. — Soit ds l'élément d'arc de la trajectoire, rfo", rfo'iyrfo'j-seront ses trois composantes obliques suivant les arcs coordonnés au point que l'on considère; si Ton appelle (f^, dqx, dq^ les composantes obliques de l'élément ds suivant les plans tangents aux surfaces p, pi, p}, on peut se proposer de déterminer ces divers éléments en grandeur et en direction ; ils se déduisent d'une formule unique qui donne l'angle de deux droites dans le système oblique.
D'après les relations du h* 2^6» on a les expressions suivantes :
/ rf^cos(rfs, rfd) = 2r/o"COs([rf(7], rf<y),
(4) ^ dsz=z^d(7C0s[d(j,ds]y
\ ds^=:2 dfT^ 4-2 2 rf(7, dffa cos 9 ;
on obtient aussi les formules suivantes :
[ dq cos [rfg, rfo*,) = rfo-i -4- c/c, cos 9, [5] < ^q cos [dq, da^) = dtj^ -+- de y cos 9,
( rfj C0s(c/5, rfo-) =:rf<T, COS9J -h rf(7aCOS9j (3);
ces relations font connaître les éléments ds, dq, dq^, dq,,
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ainsi que leurs directions par rapport aux trois arcs coordonnés.
On en déduit facilement la formule suivante :
(3) rf*»=2(rfî»— rf(7'),
laquelle montre que, si l'on construit deux parallélépipèdes droits et rectangles, le premier sur les éléments dq^ dq„ dq, comme arêtes issues d*un même point, le second sur les éléments dd, diii d^u ia diagonale du premier est Thypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont la diagonale du second et l'élément ds de la trajectoire.
298. De la variation d'une fonction des coordonnées du point suivant l'élément de la trajectoire. 7- Soit V une fonction quelconque de p, pi, pa : on a» pour la variation preniière de cette fonction, la relation
ds '^j dp ds'*
ety pour la variation du second ordre de la môme fonction, la rela ion
'^^ ds\ds )~'Zidp diyds) ■*" ds'"
dans laquelle la variation complète du second ordre d*Y est donnée par l'équation symbolique
r»v=: (dp
rfp-^^P'5^-^^P'5p:'^^-
i^ relation (6) peut aussi s'écrire sous la forme suivante :
^ ' ds\ds )"' ds' ZàdcT ds\ds ) 2j ds dfr dsKdp)
Or, si l'on a égard aux expressions des variations des arcs coordonnés données par les formules (28)" du n" 258, la. dernière
ÉLÉMENTS d'une TRAJECTOIRE DES GOORDONNfiES GURLILIGNES. 4^9
somme contenue dans l'équation précédente devient
,^j ds d<Tds\dp)
Yrf,Vrfg
dp\dp J dd / j i\ rfop, /j i\ c[o;a I
Soit» en second lieu, une fonction U de x^y^ z; on trouve, pour la variation du premier ordre, la relation
( \ dV^^dVdj
^""^ ds '^Zida ds'
Or on a Téquation
dVdVdx dVdr dV dz d(r dx d(T dy dfx dz da ^
si Ton pose, pour abréger,
rfU» rfU» rfU;
dx^'^ dr"^ dz^ '
la valeur de --r- peut s'écrire sous la forme suivante :
T— = Kcos(K, dff);
conséquemment, en s'appuyant sur les formules (23)'^ du n^258, on obtient la relation
(a)' ~ = Kcos(K,rf^).
On trouvera, pour la variation du second ordre de U, l'expression
ds \(is j 2adf7 ds \ds J
\r d/dU\ da^ d /rfU\ rfo- rfa , d /rfU\ da^ dç^ Zd \.d(x \d(s) ds^ d(fi \d(T ) ds ds dcrt \d<T ) ds ds
470 U¥B£ 11. — 8BCTI0N I. — CHAPITKB IV.
Or on a, en se rappelant que A ei ^m sont identiques,
d /rfU\ cos(K^ (/'U .„
en ayant égard à ces valeurs, on obtient Téqualioii
ds \ds J~~ ds' 2u dv ds \ds )
, .] ^Wd(ircos{K^)d(T cos(K, 4^.,)rf(7
^'' 1 ^^ZldJl  Ts'^ ^0^ dJ
cos(K,^«) da,
dans]laquelle d^V est la différeniielie complète de U par rapport à Xy y-y r.
299. De la courbure de la trajectoire et de ses composantes orthogonales suivant une direction donnée. ■— Soit^ la courbure de la trajectoire ds; si dans la formule (7) on fait U = jt, le premier membre de cette formule a pour valeur la composante de la courbure suivant Taxe des Xy et si de plus on remarque que la différentielle seconde de x est nulle, on obtient réquation
[ cos($, 3:)__Y ^£(^\ \ 9? ^2j dd ds \ds )
V^rfo-rcosf^, .yjrfT cos(x,^o,)rf(r, cos(j:,^«)rfc;, ^ds[ éi ds J^^i ds ^i ds
Cette équation donne la composante orthogonale de la courbure de la trajectoire e/^ suivant une direction quelconque Ox. Si l'on fait coïncider la direction Ox avec da, on aura la composante orthogonale de cette courbure suivant l'arc coordonné da; mais alors il faudra se rappeler que les cosinus des angles (^, d(T], (^«i» de), {JÇ^ou da] sont nuls, parce que Tare de est perpendiculaire aux rayons de courbure propre ou in-
ÉLfiMBlfTS d'une TRAJECTOIRE DBS GOORDONMASS CURVILIGNES. 4? '
clinée a, 4j„, Ji^Q^. L'expression de celle composante est
cos(^P,rfg) Y tr^ 1 ^ ^d ('^^\
(QyJ Y fcos (^, [rfg]) d<T' (cos(41,i, [d(r]) dcr ddy
^ ^ ' ZdV ^ ds^ "^ 4:., ds ds
cos(4^M, [da]) d(7 d^'\ 4^,, ds ds J
