Composantes obliques de la courbure de la trajectoire
j" expression. — Soienl —r-^ — :> — r. les composâmes oblî-
ques, suivant les irois arcs coordonnés, de la courbure ^; si
l'on remarque que la projection d'une courbure quelconque suivani l'axe des x esl la spmme des projecUons, surcel axe, des irois composantes obliques, on aura, en représenianl par X, Xi, Xa les cosinus des angles que l'axe des x fail avec les irois arcs coordonnes, les équaiions suivanles :
cos(,^, :r) X X, X,
et ainsi de suile. £n poriant les valeurs des composâmes de ces courbures et des courbures analogues dans l'équation (8), el en identifiam les coefficients de X, X„ X„ on aura l'équalion suivanie :
l 9J pK'^j -2d r^'^ ds' '^Zdds ds ViV "^ C/ ds [ds )' ^"^^ dans laquelle le signe \ s'élend à lous les indices inférieurs.
Remarquons que —7^ ne renferme que irois sorles de termes :
I® la somme des termes qui ne dépendenl que des composâmes obliques des courbures propres des lignes coordonnées; 2^ la somme des termes qui ne dépendent que des
47^ UTRl II. — SKCTfOH 1. — CHAPITRB IT*
composantes obliques des courbures inclinées des li^es coordonnées; 3* le terme ^ { ^ ) •
301. Nouvelles expressions des composantes obliques de la courbure de la trajectoire. — Nous allons maintenant calculer
d'autres expressions de la composante -^f qui nous paraissent dignes d'être remarquées.
^ . ^. ,, dfj dfT do . -,
2* expression. — Observons que I on a t- = ^ ^; si 1 on
differentie les deux membres par rapport à dsy on obtient l'expression suivante :
ds\ds) '^ df^ ds\ds)
ds y dp \dp j ds rfp, \dp ) ds rfp, \rfp I ds ^
or, si Ton a égard aux variations des arcs donnés par les formules (^3 j*^ du n^258» on obtient l'équation
I da d (dp\ dp^ d^<T
p(^>~'dp ds\ds) '^d?d^
idY
(da d(Tt I ddt do'j i dcrt da i \ ^ d'f di'WÏ^'^lbdrf.'j'^'drdsT^') '^ 2à ^^^'-
3* expression. — Si dans le développement de la dérivée
écrit au commencement de ce numéro, on ajoute et
l'on retranche les trois derniers termes de ce développement, la somme des termes additionnels représentera l'expression
dp d /d<7* rfp\ dids\d^'ds)'^
on aura donc, en ayant égard aux variations des arcs (n**258], formules (23)'^, la relation suivante:
ds \ds) "" d<x ds \dp' ds)'^ ds' dp'
d(T d(Tx / I I \ da dct II I \
~ Tt HT \l^, ~ W ~ Ts lir VTiV ~ 171)
ÉLÉMENTS d'une TRAJEGTOIBB DBS COORDONNÉES GURYILIGNES. 4?^
el, en portant cette valeur de -r; [-t- ) dans l'équation (9), on trouve la formule
rf(7' /dcr d(Tx ddx dcTi da^ dcr^
1 ^ ds^ î ds ds ds ds ds ds
dp^ d fda* dp\ dp* d^ a d<T ds \rfp* ds] ds* dp*
4* expression. — Prenons la dérivée de ^> en ne faisant varier que p, nous obtiendrons les deux premiers termes de la seconde expression de -— j; cette secondeexpression pourra donc s'écrire sous la forme suivante :
dcF d(T\ d(Ti dcTy d(7i dcr\
ds ds ds ds ds ds
/(o) ' il») ' no) / *!• *ia Mi /
\yds*
p^') '^ ds [ds ) '^ ^
302. Des projections obliques de l'arc de contingence de la trajectoire. — L'équation (9), multipliée par ds, donne la relation suivante :
f \ as "^ dT Ida ddx d(j\ , fd(r\
le signe \ s'étendantà tous les indices inférieurs. Cette formule fait connaître la projection oblique de l'arc de contingence de la trajectoire ds en fonction des projections obliques des arcs de contingence propre ou inclinée des lignes coordonnées. On doit remarquer: i" qu'elle ne contient que des projections obliques suivant dtr des arcs de contingence propre
ou inclinée des lignes coordonnées; 2" que le facteur de -r-
sous le signe > renferme la somme des projections obliques
des arcs de contingence propre ou inclinée qui sont perpendiculaires à dd.
474 LIVEB II. — SECTION I. — GHAPITRK IV.
303. Du plan de courbure de la trajectoire. — Soil SfR^ 1j normale au plan de courbure de la trajectoire ds^ on a
/crr \ /nf^-^ d /dr\ dr d [dx:\'\
si l'on porte dans le second membre les valeurs des dérivée^
rtv d "v de -T-i -^données par la formule (a), on obtient ds as ^ ■ ^ '
ros [iJÏL, z) V' I (do}^ dx d^x rfr\
Considérons le premier terme du second membre, en y rem-
dx dy* plaçant -r- -j" P^** leurs valeurs en fonction des rapports des
arcs d(Ty rfct, rfo-i à Tare ds\ la valeur de ce premier terme est alors donnée par la relation
d^y dx d^x dr
do" ds d(T ds
ddi/diT diX d»x rf, r\ d^tld^Yd^x d^x rf,>-'
ds \ dd ddx d(T d<7i
I ds \da d<7, ù<T do-:, /
On reconnaît que le coefQcient de —r^ dans le second membre
^ ds
représente le rapport de la projection de Taire du parallélogramme des éléments dd, ddx sur le plan des xy au produit de ces éléments, et que, par.conséquent, ce rapport est égal à
sin(psCos(/t3» -s). De même le coefficient de -—■ est égal à
— sin(p,cos(n,, z] ; on aura donc la relation
flf«r dx d^x dy rfc, . , , d^i . .
-. ;- = -— -sinopacos n„ a — --^-sincp, cosf/?,, s ,
dd ds dd ds ds ^ ^ ds ^ ^
qui donne Texpression du coefficient de -— ; les coefficients
de -— ;5 — ; se déduisent de la relation précédente par la rotait») ^('î ' ^
ÉLÉMENTS D*UNR THAJEGTOIBE DBS COOKDOiXNfiES CURVILIGNES. 4?*^
lion des indices. On a donc finalement Téquaiion
. . ros(;)lL, z) \^/ rf(T, dd^ \ , ^ , . (il) ^-z z=z > — --T — — p 1 sin © cos /?, 2 )•
le signe N s'étendantà tous les indices inférieurs.
Celte équation fait connaître les angles que la normale 011/ au plan de courbure de la trajectoire fait avec une direction quelconque 0^.
Si Ton remplace la direction Oz par la direction rfo-, et qu'on remarque que les angles (nurfa), (/i,, rfor) sont droits, on obtient la relation
dans laquelle il faut remplacer cos (/i» c/(7) par sin^.sinds qui
lui est égal, et les composantes — ^ — - par leurs valeurs données par les équations (9).
304. De la courbure inclinée de la trajectoire ds suivant une direction donnée. — Cherchons en premier lieu la courbure inclinée de la trajectoire suivant Tun des arcs coordonnés rfo-, dcTi, rf(T,; d'après notre notation, ces courbures
• . ^ ï ' 1 ' . III
seraient -r — » . — » -7 — ; nous les représentons par -r-î t"*» t* '
Aorf, Aqd, Ardi A» Al Aa
ce qui revient à supprimer l'indice relatif à la trajectoire. Nous remarquerons que, conformément à notre notation, une
courbure propre — d'un arc coordonné rfo- peu-t aussi s'écrire
sous la forme -^ — » puisque cette courbure propre n'est autre
chose que la courbure inclinée de l'arc (/or suivant la direction
d(T. Cela pose, en se rappelant que X est égal à -j- (300), on a la relation
rfX rfX dff rfX d<7i d\ d(Ti
ds dcr ds dfix ds ddi ds
47^ LIVRB II. — 8BGTI0N I. — CBAPITUB' IV.
et conséquemment
/^v cos ( Ao, J^) . V rfq- cos (-Cm», x)
Cette formule fait connaître la projection d'une courbure inclinée -r- de l'arc ds sur une direction quelconque Ojt. Si
Ai
cette direction coïncide avec Tun des arcs coordonnés do-, on a la formule
cos (A,, rfg)^ y rfor cos(4:^[o]«,[rf<r]) 3. ^ ^ A. Zjds 4:^[,3. ' ^ ^
On déduit de la formule (i3), en remarquant que la projection d'une courbure 'est égale à la somme des projections de ses composantes, les composantes obliques de cette même courbure suivant les arcs coordonnés, de sorte que, si Ton
représente par r^,» ^,j ^^^ ces irois composantes, on ob-
tient la relation
On obtient aussi, en s'appuyant sur les formules {^3]" du n® 258, la relation
f ,., cos(Ao,rf5) \^ cos{d(j,ds)
dans laquelle les composantes obliques de la courbure -r-
doivent être remplacées par leurs valeurs tirées des équations (i4).
Cherchons en second lieu ta courbure inclinée de la tra-
jectoire suivant une direciion v quelconque. Soit -r — , ou
mieux -jr- celte courbure, et représentons, d'après notre nou-
At.
tion, par t— >-r— ' a^ '®^ courbures inclinées des arcs coor-
fiLÉMBNTS d'une TRAJBGTOIRB DB8 GOOBDONNfiBS CUBVILIGNBS. 477
donnés da, dcFx, d(Tu suivant la même direction t. : on a évidemment la formule
rfcosfv, a:) dcos{x.9 x) dd
ds dd ds
dC0S[x,^x) d(Ti rfcOS (t., ^) rf(T,
d(jx ds dci ds
laquelle donne
cos(A^,ar)^ ir\d<7. cos(A^.,a:)
Or, si V est une longueur déterminée en grandeur et en direction, et que x.(*\ vO\ ^('^ soient ses trois composantes obliques suivant les arcs coordonnés, on a
cos (t., x)=y — cos Xy dd) .
^X^yX) ^^ t/o) cos [J^ [,]„ X) \ dx d /v(')\
La différentiation par rapport à dcr donne cos(Ato, ^)
laquelle donne la composante orthogonale de la courbure -7—
suivant une direction quelconque.
Si Ton porte ces valeurs dans Téquation (i5), on obtient la formule
cos ( A^, x) ^Y /v^'^\ <^os ( Aq, x) \ dx d/'J^\
I • " I Représentons par -7^^ -,7,9 -^^ les composantes obliques de
la courbure -r- suivant les arcs coordonnés, on obtient, par
Afc
le procédé déjà indiqué, la formule simple
478 IJVhB II. — SKCriON I. — CIUPITIIR' IV-
dans laquelle les composantes telles que r-^j, doivenl être rem-
placées par leurs valeurs tirées des équations (i4 )- On déduit sans difflculté les deux relations
cosfA^,//.0 Yoosf^/5, fi<y) '
Ces formules sont très générales, elles renferment implicitement toutes celles qui ont été trouvées dans les numéros précédents. Si Ton suppose, par exemple, que la longueur t coïncide en grandeur et en direction avec ds, comme la cour
bure inclinée de Tare ds suivant la direction ds n'est pas dis-
lincte de la courbure propre ^ de la trajectoire, la premièn»
des formules (iS)'', combinée avec les formules (16) ei (i4 )» donne l'équation
/ON, cos{^S.df7^ \^r/b-ros(A«, [(/(x]) . "V ^r^ -i ^ > ^ /^^
qui est évidemment la même que notre formule (S)', lorsqu'on a égard aux formules (i3)'.
305. Deuxième courbure de la trajectoire. — Les mêmes formules donnent la deuxième courbure de la trajectoire, ses projections sur les arcs coordonnés et ses composantes obliques.
Soient 7; celte deuxième courbure, -— ,» - .» -— - ses com-
posantes obliques suivant les arcs coordonnés, rr--» j^r^> ^-
ses projections sur les mêmes arcs; soient OTL une longueur perpendiculaire au plan osculateur de la trajectoire; m(*>, m^^K mf'> ses composantes suivant les arcs coordonnés. Si, dans le n° 2^5, on suppose la longueur ^ égale à OTL et qu'on prenne '>ll' pour unité, l.i deuxième des formules (6)' de ce numéro
fiLfiHBNTS d'uME trajectoire DBS GOORDONNfiBS CURVILIGNES. 479
donnera la formule suivante :
7 ; — i — TT cos [/n, n ;
or, si Ton porte dans cette formule la valeur des cosinus des nngles (Oit, rfu), [Oïl, rfd,), (OU/, rfo-,) donnés à la fin du n» 303, on obtient l'expression suivante .
