OÏL

= ? 7— r 7 -rrr^ r^^-j" sin 9 cos (U |, /i .

Cela pose, la formule (i6j donne et la formule (i5)"

(.7)' £^(qW=2

ros (Qrfc) "^ cos [[dfj], dd)

Si dans la formule (17) on porte les valeurs des rapports tels

que -^^- que nous venons de trouver et les valeurs des r^^^

données par la formule (i4)* on aura l'expression des composantes obliques des deuxièmes courbures suivant les trois arcs coordonnés, tandis que la formule (17)' donnera les projections orthogonales de la même courbure sur les mêmes arcs.

306. Formules de transformation. — Nous allons démontrer quelques formules de transformation pour passer d'un système de coordonnées à un autre système. Écrivons les

deux types d'équations (9) et (10) trouvés au n° 247 :

<lans lesquelles n, n,, n^ sont les directions des normales aux surfaces p, p,, p..

48o . LIVRE II. — SECTION I. — GBaPITRB ir.

Soit maintenant une fonction U de j:, 7, z ; on a dV dV dp dV dp, . rfU f/p,

^^' dx dp dx ^ dpt dx ^ c/p, dx

Or, si l'on porte dans cette équation les valeurs de -7^» -r--.

--p tirées de la première des équations (18), et qu*on pose, pour abréger,

(18)' U.A=Y[A]Acos([/i],n)^,

on aura

ax ^ dp

Les trois équations contenues dans le type (18)' sont en tout semblables aux trois équations contenues dans le premier des types (18); donc, en vertu des équations contenues dans le second des types (18), on aura directement et sans calcul les équations

(18)" ^=y[H]Hcos([rf(j],rf(7)U.A, (3)

les paramètres H, h étant liés entre eux par la relation 11 du n» 2^7,

cos(/i, ao") ^ '

Les équations (18)' prouvent que U,, U,, U, peuvent être

considérées comme les composantes orthogonales suivant les

normales n, n,, n, aux surfaces coordonnées de la force dont

les composantes obliques, suivant ces mêmes normales,«se-

, d\] , rfU , dV raient n~j-9 A, -7-7 fh-j-' dp dpi dpi

Les équations iib prouvent que ît-t-' ii— r~' „ ^ sont ' \ / I ^ ndp Htdp, Hs^p,

les composantes orthogonales suivant les arcs coordonnés 1/9.

d(7iy dfTt de la force dont les composantes obliques, suivant

les mêmes arcs, seraient H AU,, H, A,U,, H,A, U?.

ÉLtaBNTS d'une TRAJECTOIRE DBS COORDONNÉES CURVILIGNES. 4^'

Maintenant, si Ton remarque que, lorsqu'une force est décomposée suivant les directions Jer, cfo-,, dcTty et qu'on prend les projections orthogonales de cette force sur les normales n, /11, ns aux faces du parallélépipède construit sur dcFy ddip Ja», les rapports des composantes obliques aux projections orthogonales correspondantes sont cos{n,d(7)y cos{ni,d(Ti)f cos (n2> dvi), et qu'il en est de. même lorsqu'on opère d'une manière inverse, il en résulte que, ces conditions étant remplies dans les deux systèmes dont il vient d'être question, la résultante du premier système n'est pas distincte de la résultante du second. Cette conclusion est aussi rendue évidente par la manière dont on a obtenu les équations (i8)', (i8j^.

Les formules (i8), (i8)', (18)" sont donc des formules de transformation pour passer d'un système de coordonnées rectilignes à un système de coordonnées curvilignes, et réciproquement.