DU CONTACT DES LIGNES ET DES SURFACES

La première applicaiion de la théorie exposée dans la première Pariie est relative : i<* au contact des courbes entre elles; i"" au contact des courbes des surfaces, et enfin au contact des surfaces entre elles. Une preuve qu'une théorie, quelque rigoureuse qu'elle paraisse, n'a pas été conçue au point de vue le plus général, c'est lorsqu'elle repose sur des éléments propres à un système particulier de coordonnées, ou qu'elle ne peut se traduire analytiquement et avec facilité que dans le système particulier. Au contraire, si une conception est vraiment générale, vraiment géométrique, elle repose sur des éléments propres à un système quelconque, et s'applique sans effort à tout système de coordonnées. La théorie du contact des courbes est susceptible d'une pareille généralisation, lorsqu'on la fait reposer sur une définition se rapportant à la notion des courbes, ne renfermant aucun élément inhérent à tel ou tel autre système de coordonnées.

§ L — Du CONTACT DES COURBES ENTRE ELLES.

307. D^nition. — Deux courbes ont en un point commun un contact du premier ordre, lorsque ce point est la limite de deux intersections de deux courbes (Lagrange).

484 LIYRB H. — SECTION II. — CBAFITRB V.

Deux courbes ont en un point commun un contact du n'^' ordre, lorsque ce point peut être regardé comme la limii>> de n + I intersections des deux courbes.

Condition analytique du contact du premier ordre. — Soient les équations des deux courbes dans le système de^ coordonnées ( >, fx, v )

[c] X = /(/), fX =/.(/), V =/,(/),

dans lesquelles la position du point dépend de la même va— riable indépendante /. Soient

Ot, Oi les deux intersections des deux courbes; /«, /i les valeurs de / qui déterminent ces deux intersections; ^9 ^1» Xjt* -C' I^s valeurs de X correspondantes dans les deu\ courbes.

On aura les deux équations

or on peut remplacer Tune d'elles, la seconde, par la combinaison suivante de ces deux équations :

ou, ce qui est la môme chose,

Si maintenant on admet que l'intersection Oi va se confondre avec l'intecsection Oo, il faudra faire converger ^i vers /«, et l'équation précédente, quand on passera à la limite, deviendra

^^J dt -- dt'

on déduit de là la proposition suivante :

Théorème. — Deux courbes qui ont en un point un contact du premier ordre ont en ce point les dérivées égales^ deux à

DU CONTACT DBS LIGNES BT DBS SURFACES. 4^5

deiix, des trois variables X, tx, v, par rapport à la variable indépendante t.

Condition analytique du contact du second ordre et des ordres supérieurs. — Soient trois intersections des deux courbes, Oo, 0„ Os, données par les valeurs ^, /i, /i de la variable /; >o, Xi, Xjt -dot -Ç.!» -O '®^ valeurs correspondantes des variables X et ^^dans les deux courbes; on aura au point 0,, en raisonnant comme on vient de le faire, la condition

^ ' dt dt

Ainsi on a la première des équations (i), l'équation (2) et réquation (3); or cette dernière peut être remplacée par la combinaison suivante des équations (2) et (3) :

dX rfXo __ rf41. dJ^.

dt dt ^ dt dt''

que l'on peut écrire successivement sous les formes suivantes :

dt " dt '

d (M.\ d /AQX dt\At ) " dt\At )'

., àt\dt / àt\dt)'

Si maintenant on suppose que les trois intersections se confondent en une seule, la dernière équation devient

dr dv

£n raisonnant de la même manière pour quatre intersections 0«9 Oi, Oa, Os» on dira : puisque au point Oi les trois intersections Oi, O2, O3 convergent en une seule, on aura en ce point réquation

di^ "" di'